Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

6 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
Når potentialet V i Schrödingers ligning er uafhængigt af tiden tales der om stationære tilstande.
Her kan man løse ligningen med separation af de variable, Ψ(x,t) = ψ(x)ϕ(t). Her får vi at
− 2 ∂ 2 ψ
+ V ψ = Eψ ⇔ Ĥψ = Eψ
2m ∂x2 og at ϕ(t) = e −iEt/ . Denne ligning kaldes den tids-uafhængige Schrödingerligning, og denne
skal løses for givne potentialer V (x).
Det specielle for disse stationære tilstande er tre specifikke ting:
⊲ Sandsynlighedstætheden afhænger kun af x, ikke af tiden, hvorfor der gælder at |Ψ(x,t)| 2 =
|ψ(x)| 2 , hvilket medfører at
〈Q(x,p)〉 =
∫ +∞
−∞
(
ψ ∗ Q x, )
∂
ψ dx,
i ∂x
der betyder at alle målbare variable er konstante i tiden. Specielt er 〈p〉 = 0 – der sker aldrig
noget i en stationær tilstand!
⊲ Bølgefunktionerne tilhører en bestemt energi. Vi definerer Hamiltonoperatoren som
Ĥ = ˆp2
2
+ V (x) = −
2m 2m
∂ 2
∂x 2 + V (x),
hvorved den tids-uafhængige Schrödingerligning kan skrives som et egenværdiproblem Ĥψ =
Eψ. Hamiltonoperatoren er den totale energi (kinetisk plus potentiel). Man kan vise at
〈H〉 = E og 〈H 2 〉 = E 2 , hvorfor energien er helt præcist bestemt, da σ H = 0.
⊲ Den generelle løsning til den tids-uafhængige Schrödingerligning er en lineær kombination af
løsninger, hver med deres specifikke energi. Der er altså en forskellig bølgefunktion for hver
tilladt egenenergi. Man kan altså for en kendt egenfunktion til tiden nul finde konstanterne
c n så
∞∑
Ψ(x,0) = c n ψ n (x),
og disse samme konstanter bruges så til at finde den tidsafhængige bølgefunktion ved
n=1
n=1
∞∑
∞∑
Ψ(x,t) = c n ψ n (x)e −iEnt/ = c n Ψ n (x,t).
n=1
2.2 Det uendelige brøndpotentiale
Det uendelige brøndpotentiale er karakteriseret ved at være nul inden for et vist område, og
ellers uendeligt. Vi ser på potentialet af formen
V (x) =
{
0, hvis 0 ≤ x ≤ a
∞, ellers.