Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

1 Bølgefunktionen 5
og der fås en standardafvigelse på σ 2 = 〈(∆x)〉 2 = 〈x 2 〉 − 〈x〉 2 .
◭
Bølgefunktionen kvadreret er en kontinuert sandsynlighedstæthed som ρ(x) ovenfor, og denne skal
være normaliseret for at den kan give nogen fysisk mening, så vi lægger kravet at
∫ +∞
−∞
|Ψ(x,t)| 2 dx = 1.
Dette kan gøres eftersom vi ved at hvis Ψ(x,t) er en løsning til Schrödingerligningen, så er AΨ(x,t)
det også – så vi skal bare vælge konstanten A så integralet ovenfor gælder. Denne proces kaldes
normalisering, og man gør den normalt for t = 0. Det vises i bogen at hvis bølgefunktionen er
normaliseret til tiden nul, så er den det også til alle andre tider. Et mellemresultat for beviset af
dette bruges ofte, og jeg vil altså have det med her (bemærk at generelt betyder |Ψ| 2 = Ψ ∗ Ψ)
∂
∂t |Ψ|2 = i (
Ψ ∗ ∂2 Ψ
2m ∂x 2 − ∂2 Ψ ∗ )
∂x 2 Ψ = ∂ [ ( i
Ψ ∗ ∂Ψ )]
∂x 2m ∂x − ∂Ψ∗
∂x Ψ .
Fra samme bevis forklares det også at Ψ(x,t) skal gå mod nul for x → ±∞, ellers kan den jo ikke
normaliseres.
Definition 1.3 (Forventningsværdi) Forventningsværdien for en variabel defineres som gennemsnittet
af gentagne målinger på en samling af identisk forberedte systemer. Den er givet
ved udtrykket (her for x)
〈x〉 =
∫ +∞
−∞
Ψ ∗( x ) Ψdx.
Mere generelt indfører man en operator som skal operere på bølgefunktionen for at give forventningsværdien
for den variable operatoren repræsenterer. Operatoren for impulsen p er en
differentialoperator, givet så 〈p〉 = md〈x〉/dt, altså
〈p〉 =
∫ +∞
−∞
Ψ ∗ (
i
)
∂
Ψdx,
∂x
og helt generelt kan man finde alle variable der afhænger af position x og impuls p ved
〈Q(x,p)〉 =
∫ +∞
−∞
(
Ψ ∗ Q x, )
∂
Ψdx.
i ∂x
Udtrykket for Q er simpelthen bare det klassisk kendte udtryk for den variable man vil måle,
som funktion af sted og impuls.
◭
Heisenbergs usikkerhedsprincip siger at man ikke kan måle sted og impuls helt nøjagtigt på
samme system, og at der altså gælder at
σ x σ p ≥ 2 ,
hvor σ x er standardafvigelsen i x og σ p er standardafvigelsen i p.