Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

4 1 Bølgefunktionen
1 Bølgefunktionen
Kvantemekanikken bygger på at systemer beskrives ved deres bølgefunktion Ψ(x,t). Denne findes
ved at løse Schrödingers ligning,
i ∂Ψ
∂t = − 2 ∂ 2 Ψ
2m ∂x 2 + V Ψ,
for det potentiale V som systemet er i. Her er Plancks konstant, givet ved
= h
2π = 1.054572 × 10−34 J s.
Sandsynlighedsfortolkningen siger så at |Ψ(x,t)| 2 er sandsynligheden for at finde partiklen ved x
til tiden t, og det generaliseres til at
∫ b
{ }
sandsynlighed for at finde partiklen
|Ψ(x,t)| 2 dx =
.
mellem a og b til tiden t
a
En måling på en partikel gør at bølgefunktionen kollapser omkring den værdi som man målte –
så hvis man måler igen får man med sikkerhed det samme resultat. Bølgefunktionen vil efter tid
udvikle sig efter Schrödingers ligning igen, og brede sig mere ud.
Sætning 1.1 (Diskrete sandsynligheder) Hvis P(j) er sandsynligheden for at vælge j (hvor
der altså skal gælde at ∑ P(j) = 1), vil en gennemsnitsværdi af j være givet ved summen af
værdierne gange deres tilhørende gennemsnit, og mere generelt er gennemsnittet af en funktion
af j givet ved summen af funktionerne gange sandsynlighederne, altså
〈j〉 =
n∑
jP(j) ⇒ 〈f(j)〉 =
j=0
n∑
f(j)P(j).
Vi definerer standardafvigelsen σ ved først at definere ∆j = j − 〈j〉, og derefter se at
j=0
σ 2 = 〈(∆j) 2 〉 = 〈j 2 〉 − 〈j〉 2 ,
hvor der normalt gælder at 〈j 2 〉 ≥ 〈j〉 2 , hvor de to kun er lig med hinanden når σ = 0.
◭
Sætning 1.2 (Kontinuerte sandsynligheder) Vi definerer sandsynlighedstætheden ρ(x)
ved
{ }
sandsynlighed for at en tilfældigt valgt partikel
ρ(x)dx =
.
ligger mellem x og x + dx
Sandsynligheden for at man finder partiklen mellem a og b er da givet ved et integrale
P ab =
∫ b
a
ρ(x)dx,
og der skal som før gælde at ∫ ρ(x)dx = 1 hvis man integrerer over hele intervallet. Her er
gennemsnitsværdier givet næsten som ved diskrete sandsynligheder, og vi har at
〈x〉 =
∫ +∞
−∞
xρ(x)dx ⇒ 〈f(x)〉 =
∫ +∞
−∞
f(x)ρ(x)dx,