Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

E Egenskaber vi har fundet i opgaver 25
men hvis k n = nπ/L bliver meget lille (L bliver meget stor) kan man approksimere summen med
et integrale
Så vi har en Fouriertransformation
f(x) = L π
∫ +∞
−∞
+∞∑
n=−∞
≈
∫ +∞
−∞
dn = L π
∫ +∞
−∞
dk.
e ikx c(k)dk, hvor c(k) = 1
2L
∫ +∞
−∞
e −ikx f(x)dx
eller
f(x) = √ 1 ∫ +∞
e ikx c(k)dk, hvor c(k) = 1 ∫ +∞
√ e −ikx f(x)dx.
2π 2π
−∞
−∞
Når vi i kvantemekanikken har diskrete egenenergier kan vi bruge Fourierserierne, og vi opstiller
altså
∞∑
∫ +∞
Ψ(x,0) = c n ψ n (x), hvor c n = ψ ∗ (x)Ψ(x,0)dx,
n=1
−∞
og da er
∞∑
Ψ(x,t) = c n ψ n (x)e −iEnt/
n=1
med samme konstanter c n . Forventningsværdien for Hamiltonoperatoren findes da til at være
∞∑
〈H〉 = |c n | 2 E n .
n=1
E
Egenskaber vi har fundet i opgaver
I opgave 2.1 fandt vi at
⊲ Energien E er altid reel!
⊲ Man kan altid finde en stedslig bølgefunktion φ der er reel. Hvis man finder en der ikke er
det, så kan man skrive den op som en lineær kombination så den bliver det.
⊲ Hvis potentialet V (x) er en lige funktion, så vil den stedslige bølgefunktion ψ(x) altid være
enten lige eller ulige.
I opgave 2.2 fandt vi at
⊲ Energien E skal være større end minimumsværdien for potentialet for alle normaliserbare
løsninger til Schrödingers ligning. Der skal altså gælde at E > V min .
I opgave 3.7 fandt vi at
⊲ Hvis både f og g er egenfunktioner til operatoren ˆQ med samme egenværdi q, så er alle
lineære kombinationer af f og g også egenfunktioner til operatoren ˆQ med egenværdi q.