Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

24 D Fourierserier og Fouriertransformationer
∫ +∞
−∞
u m e −λu2 du =
Γ[(m + 1)/2]
λ (m+1)/2 (Schaum’s 18.77)
Den sidste har brug for lidt forsimpling når man går fra det generelle m til et givet. Der gælder
for gammafunktionen at
(
Γ m + 1 )
1 · 2 · 3 · · · (2m − 1) √
= π,
2 2m
(
Γ −m + 1 )
(−1) m 2 m √
=
π,
2 1 · 2 · 3 · · · (2m − 1)
og der gælder at Γ(n + 1) = nΓ(n) for n ∈ N. Man kan finde en tabel over gammafunktionens
værdier på side 245 i Schaum’s, men de to vigtigste værdier er
Γ(1) = Γ(2) = 1.
C
Vigtige matematiske formler
Her vil jeg opliste matematiske sammenhænge som vi har brugt under regneøvelserne. Først bliver
det Eulers formler:
e ix = cos x + isin x, e −ix = cos x − isin x,
cos x = eix + e −ix
2
, sin x = eix − e −ix
.
2i
Hvis man har et udtryk Ae ikx + Be −ikx og vil omskrive det til udtrykket C cos kx + D sinkx eller
omvendt, gælder der at (opgave 2.18)
A = C 2 + D 2i , B = C 2 − D , C = A + B, D = i(A − B).
2i
For ulige og lige funktioner gælder der at
lige ·lige = lige, lige ·ulige = ulige, ulige ·ulige = lige,
samt at ∫ +a
ulige = 0,
−a
∫ +a
lige = 2
∫ +a
−a 0
lige.
Til sidst vil jeg lige opliste et par funktioner og hvorvidt de er lige eller ulige:
sin kx er ulige, cos kx er lige, e kx2 er lige.
D
Fourierserier og Fouriertransformationer
Normale Fourierserier er på formen af en sum ved
f(x) =
+∞∑
n=−∞
c n e inπx/L , hvor c n = 1
2L
∫ +L/2
−L/2
e −inπx/L f(x)dx,