Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

22 5 Identiske partikler
Bemærk at der for spin-1/2 systemer altid gælder at
〈S 2 x〉 = 〈S 2 y〉 = 〈S 2 z〉 = 2
4 .
5 Identiske partikler
Hvis vi har et system med to partikler i stedet for kun en enkelt vil vores bølgefunktion være givet
som Ψ(r 1 ,r 2 ,t), og Hamiltonoperatoren vil være givet ved
H = − 2
∇ 2 1 −
2
∇ 2 2 + V (r 1 ,r 2 ,t).
2m 1 2m 2
Sandsynligheden for at finde partikel 1 i volumenet d 3 r 1 og partikel 2 i volumenet d 3 r 2 er givet
ved |Ψ(r 1 ,r 2 ,t)|d 3 r 1 d 3 r 2 , og normalisationskravet bliver da
∫
|Ψ(r 1 ,r 2 ,t)|d 3 r 1 d 3 r 2 = 1.
For tids-uafhængige potentialer kan igen bruges separation af de variable, og man får en bølgefunktion
Ψ(r 1 ,r 2 ,t) = ψ(r 1 ,r 2 ,t)e −iEt/ , hvor den stedslige bølgefunktion ψ opfylder den tids-uafhængige
Schrödingerligning
− 2
∇ 2
2m
1ψ −
2
∇ 2
1 2m
2ψ + V (r 1 ,r 2 ,t)ψ = Eψ.
2
Sætning 5.1 (Bosoner og fermioner) Hvis den ene partikel er i tilstanden ψ a (r 1 ) og den anden
er i tilstanden ψ b (r 2 ) er den samlede bølgefunktion det simple produkt ψ(r 1 ,r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ).
Dette kræver dog at vi kan kendte de to partikler fra hinanden. I kvantemekanikken kan ikke
kende de to partikler fra hinanden, hvorfor vi bliver nødt til at se på den samlede bølgefunktion
som
ψ ± (r 1 ,r 2 ) = A[ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) ± ψ b (r 1 )ψ a (r 2 )].
Der er altså to forskellige identiske partikler, der kaldes for bosoner (hvor man bruger plus)
og fermioner (hvor man bruger minus). Der gælder at
{
alle partikler med heltalligt spin er bosoner
alle partikler med halvtalligt spin er fermioner .
Der følger at to identiske fermioner ikke kan være i samme tilstand, for så bliver bølgefunktionen
ψ − (r 1 ,r 2 ) = 0, og den kan ikke normaliseres. Dette er Pauli’s princip.
Det viser sig at der kan findes to løsninger til Schrödingers ligning, de skal være enten
symmetriske eller antisymmetriske ved ombytning af det to partikler. Der skal altså gælde at
ψ(r 1 ,r 2 ) = ±ψ(r 2 ,r 1 ).
Hvis et system starter i en sådan tilstand bliver den i den for evigt. Identiske partikler skal
overholde denne symmetrisationslov, med plus for bosoner og minus for fermioner. ◭