Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 21
og med hæve- sænkeoperatoren defineret som S ± ≡ S x ± iS y fås at
S ± |sm〉 = √ s(s + 1) − m(m ± 1) |s(m ± 1)〉.
Her skal der gælde at
s = 0,1/2,1,3/2, · · · ;
m = −s, −s + 1, · · · ,s − 1,s,
hvor s kaldes for spinnet. Det viser sig at alle elementære partikler har et specielt og helt fast
værdi for s.
Sætning 4.4 (Spin 1/2 system) Partikler der opbygger normalt stof har spin s = 1/2, dette
er blandt andet elektroner, protoner og neutroner. For disse er der kun to egentilstande, nemlig
|1/2 1/2〉 der kaldes for spin op (↑), og |1/2 (−1/2)〉 der kaldes for spin ned (↓). Den generelle
tilstand for en spin 1/2-partikel beskrives ved en spinor, der er en lineær kombination af de to
baser:
( ) a
χ = = aχ + + bχ − ,
b
hvor χ + er spin-op tilstanden og χ − er spin-ned tilstanden, givet ved
( 1
χ + =
0
) ( 0
, χ − =
1
)
.
Spin-operatorerne er givet ved 2 × 2 matricer, der er givet ved
( ) ( ) (
S 2 = 3 1 0
0 1
0 0
4 2 , S + = , S − =
0 1
0 0
1 0
)
,
og
S x = 2 σ x = 2
(
0 1
1 0
)
, S y = 2 σ y = 2
(
0 −i
i 0
)
, S z = 2 σ z = 2
(
1 0
0 −1
)
,
hvor σ x , σ y og σ z er Pauli spin matricerne. Bemærk at S 2 , S x , S y og S z er hermitiske, de
repræsenterer noget målbart, mens dette ikke gælder for S + og S − .
Egenvektorerne for de forskellige matricer med tilhørende egenværdier er som følger
( 1
S z : χ + =
0
)
, egenværdi + 2 , χ − =
( 0
1
)
, egenværdi − 2
S x :
( √2 1 )
χ (x)
+ = , egenværdi + ( √2 1
√1
2 , χ(x) − =
),
2
− √ 1 egenværdi − 2
2
Så man kan opskrive den normale spinor ved hjælp af egentilstandene for S x ved følgende
( ) ( )
a + b
χ = √ χ (x) a − b
+ + √ χ (x)
− ,
2 2
så sandsynligheden for ved måling af S x at få værdien +/2 er (1/2)|a + b| 2 og for at få −/2
er (1/2)|a − b| 2 . Sandsynligheden for ved måling af S z at få værdien +/2 er lig med |a| 2 og
for at få −/2 er den |b| 2 .
◭