Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

20 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
hvor p i er de kendte impulsoperatorer for de tre dimensioner (p x = −i∂/∂x osv.). Der gælder at
disse tre ikke kommuterer med hinanden, og faktisk gælder der de fundamentale kommutatorrelationer
for bevægelsesmængdemomentet,
[L x ,L y ] = iL z , [L z ,L z ] = iL x , [L z ,L x ] = iL y .
Kvadratet af længden af bevægelsesmængdemomentet kommuterer dog med de enkelte koordinater,
der gælder altså at
L 2 ≡ L 2 x + L 2 y + L 2 z ⇒ [L 2 ,L x ] = 0, [L 2 ,L y ] = 0, [L 2 ,L z ] = 0,
eller mere kompakt [L 2 ,L] = 0. Så vi kan håbe at finde egenfunktioner til til L 2 som også er
egenfunktioner til f.eks. L z , L 2 f = λf og L z f = µf. Vi definerer en hæve- og sænkeoperatoren
for L z ved
L ± ≡ L x ± iL y .
For denne gælder der at [L z ,L ± ] = ±L ± og [L 2 ,L ± ] = 0. L ± f er en egenfunktion til L 2 med
samme egenværdi λ,
L 2 (L ± f) = λ(L ± f),
mens L ± f er en egenfunktion til L z med den nye egenværdi µ ± ,
L z (L ± f) = (µ ± )(L ± f).
Så L − sænker altså egenværdien med , mens L + hæver den med .
Eftersom der skal være en største og mindste egenfunktion findes det at egenværdierne til L z
er m, hvor m går fra −l til +l i N heltallige trin. Der skal gælde at l = N/2, så l er enten et
heltal eller et heltal divideret med to. Egenfunktionerne er karakteriserede ved
L 2 f m l = 2 l(l + 1)f m l , L z f m l = mf m l ,
hvor
l = 0,1/2,1,3/2, · · · ;
m = −l, −l + 1, · · · ,l − 1,l.
Se eventuelt side 177 for en illustration af dette resultat som en kugle.
4.4 Spin
Spin er klassisk rotation omkring centrum af sig selv. Der gælder for spin de fundamentale
kommutationsrelationer
[S x ,S y ] = iS z , [S y ,S z ] = iS x , [S z ,S x ] = iS y .
Ved definitionen S 2 ≡ S 2 x + S 2 y + S 2 z fås at egenvektorerne til S 2 og S z opfylder
S 2 |sm〉 = 2 s(s + 1)|sm〉,
S z |sm〉 = m|sm〉,