Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 19
Her findes det efter mange lange regninger at den generelle bølgefunktion må være givet ved
udtrykket
√ ( ) 3 ( ) l ( )
2 (n − l − 1)! 2r 2r
ψ nlm (r,θ,φ) =
na 2n[(n + l)!] 3 e−r/na L 2l+1
n−l−1
Yl
m (θ,φ),
na na
hvor L p q−p er et associeret Laguerre polynomie med det q’te Laguerre polynomie L q :
( ) p ( ) q
L p d
d
q−p(x) ≡ (−1) p L q (x), L q (x) ≡ e x (
e −x x q) .
dx
dx
Energierne er givet ved
[ ( )
m e
2 2
]
1
E n = −
2 2 4πǫ 0 n 2 = E 1
, hvor n ∈ N.
n2 Bindingsenergien for hydrogen (energien af den laveste tilstand) er da givet ved E 1 = 13.6eV. Et
sideresultat under udregningerne var Borh radiusen a, der er givet ved
a ≡ 4πǫ 0 2
me 2 = 0.529 × 10 −10 m.
Sætning 4.3 (Hydrogens spektrum) Hvis putter hydrogenatomet i en eller anden tilstand
Ψ nlm , så burde det blive der for evigt. Men hvis man “kilder” atomet lidt kommer der energi
til systemet, og det kan undergå en transition til en anden tilstand – enten ved at absorbere
energi eller afgive det.
I praksis sker sådan nogle pertubationer hele tiden, hvilket betyder at hydrogen altid afgiver
lys af bestemte bølgelængder, givet ved afstanden mellem energien i den bane elektronen var i,
og den bane den kom til. Ud fra dette fås Rydbergs formel
(
1
λ = R 1
n 2 f
− 1 n 2 i
)
,
hvor R er Rydbergs konstant defineret ved
R ≡
m ( ) e
2 2
4πc 3 = 1.097 × 10 7 m −1 .
4πǫ 0
Overgange til n f = 1 er Lymann serierne (i det ultraviolette område), overgange til n f = 2
er Balmer serierne (i det synlige område) og overgange til n f = 3 er Paschen serierne (i
det infrarøde område).
◭
4.3 Bevægelsesmængdemoment
Vi definerer bevægelsesmængdemomentet efter den klassiske notation ved
L x = yp z − zp y , L y = zp x − xp z , L z = xp y − yp x