Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

18 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
der kaldes for den radiale ligning. Denne ligning er magen til den en-dimensionale Schrödingerligning
med det effektive potentiale
V eff = V + 2 l(l + 1)
2m r 2 ,
der indeholder termet ( 2 /2m)[l(l+1)/r 2 ], der kaldes for det centrifugale term. Normalisationskravet
kan nu oversættes til
∫ ∞
0
|u| 2 dr = 1.
Eksempel (Den uendelige sfæriske brønd) Det uendelige sfæriske potentiale er defineret ved
{
0, hvis r < a,
V (r) =
∞, hvis r > a.
For l = 0 er energierne givet ved E nl som
E n0 = n2 π 2 2
2ma 2
der tilhører bølgefunktionen benævnt med ψ nlm ved
ψ n00 (r,θ,φ) = √ 1 1
( nπr
)
2πa r sin .
a
For et generelt heltalligt l er løsningen givet ved R(r) = Aj l (kr), hvor j l er den sfæriske
Besselfunktion af orden l, defineret ved
( ) l 1
j l (x) ≡ (−x) l d sin x
x dx x ,
der med randbetingelsen R(a) = 0 vælger k så j l (ka) = 0, og dermed k = a −1 β nl , hvor β nl er det
n’te nulskæringspunkt for den l’te Besselfunktion. Løsningen er da generelt givet ved
( )
βnl r
ψ nlm (r,θ,φ) = A nl j l Yl
m (θ,φ),
a
hvor konstanten A nl bestemmes ved normalisation. Energierne bliver
E nl =
2
2ma 2 β2 nl.
Hver af disse energitilstande er 2l + 1 gange degenererede, da der er netop dette antal forskellige
m for hvert l.
◭
4.2 Hydrogenatomet
Hydrogenatomet kan tilnærmes med en proton (en positiv ladning) i midten og en elektron (en
negativ ladning) i en bane rundt omkring denne. Coulombs lov giver at potentialet må være
V (r) = − e2
4πǫ 0
1
r .