Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 17
videre med den stedslige, som opdeles ved ψ(r,θ,φ) = R(r)Y (θ,φ). Dette giver en angulær og en
radial ligning,
1
Y
[ 1
sin θ
1 d
R dr
∂
∂θ
(
sinθ ∂Y
∂θ
(
r 2 dR
dr
)
+ 1
∂ 2 ]
Y
∂φ 2 = −l(l + 1),
sin 2 θ
)
− 2mr2
2 [V (r) − E] = l(l + 1),
hvor l(l + 1) er en konstant der har denne form ved lidt bagklogskab.
Den angulære ligning løses ved endnu en omgang separation af de variable, Y (θ,φ) =
Θ(θ)Φ(φ), der giver de to ligninger
1 d 2 Φ
Φ dφ 2 = m2 ,
[
1
sin θ d (
sinθ dΘ )]
+ l(l + 1)sin 2 θ = m 2 ,
Θ dθ dθ
hvor konstanten m er et heltal, hvilket følger af den første, der har løsningen Φ(φ) = e imφ .
Ligningen for θ har løsningen Θ(θ) = APl m (cos θ), hvor Pl
m er den tilhørende Legende funktion
defineret ved
( ) |m| d
Pl m (x) ≡ (1 − x 2 ) |m|/2 P l (x),
dx
hvor P l er det l’te Legendre polynomie defineret ved
Normaliseret er den angulære ligning givet ved
Yl
m (θ,φ) = ǫ
hvor ǫ = (−1) m for m ≥ 0 og ǫ = 1 for m ≤ 0.
P l (x) ≡ 1 ( ) l d
2 l (x 2 − 1) l .
l! dx
√
(2l + 1) (l − |m|)!
4π (l + |m|)! eimφ Pl m (cos θ),
Sætning 4.2 (Kvantetallene l og m) Ud fra ovenstående fås at l skal være et ikke-negativt
heltal, og der skal gælde at |m| > l. Så for hvilket som helst givet l er der 2l + 1 muligheder for
m, og der gælder altså at
l = 0,1,2, · · · ;
m = −l, −l + 1, · · · , −1,0,1, · · · ,l − 1,l.
Vi kalder l for det azimuthale kvantetal og m for det magnetiske kvantetal.
◭
Den radiale ligning er afhængig af potentialet, og kan derfor ikke løses generelt. Man opstiller i
stedet for en forsimplet udgave af ligningen ved at indføre et skift i variable ved u(r) = rR(r) så
ligningen bliver
− 2 d 2 [
]
u
2m dr 2 + V + 2 l(l + 1)
2m r 2 u = Eu,