Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

16 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
4 Kvantemekanik i tre dimensioner
I tre dimensioner bliver impulsoperatoren givet ved
p = i ∇,
hvorfor Schrödingerligningen bliver givet ved
i ∂Ψ
∂t = − 2
2m ∇2 Ψ + V Ψ,
hvor ∇ 2 er Laplaceoperatoren. Bølgefunktionen og potentialet er nu generelt funktioner af tiden
og stedvektoren r = (x,y,z), og sandsynligheden for at finde partiklen i et infinitesimalt volumen
d 3 r = dxdydz er |Ψ(r,t)| 2 d 3 r. Normalisation af bølgefunktionen kræver nu at
∫
|Ψ(r,t)| 2 d 3 r = 1.
Sætning 4.1 (Kanoniske kommutationsrelationer) De kanoniske kommutationsrelationer
er sammenhængen mellem hvordan de forskellige positioner og impulser kommuterer (og
hvor de fejler). Der gælder at
[r i ,p j ] = −[p j ,r i ] = iδ ij , og [r i ,r j ] = −[p i ,p j ] = 0,
hvor indeksene står for x, y og z og r x = x, r y = y samt r z = z.
◭
Hvis der er tale om et tids-uafhængigt potentiale kan vi, som vi gjorde i én dimension, bruge
separation af de variable, hvorved man får at
Ψ n (r,t) = ψ n (r)e −iEnt/ ,
hvor den stedslige bølgefunktion ψ n (r) skal opfylde den tids-uafhængige Schrödingerligning
− 2
2m ∇2 ψ + V ψ = Eψ.
Igen er den generelle løsning til den tidsafhængige Schrödingerligning givet ved en lineær kombination
af de separerede løsninger til den tidsuafhængige ligning
Ψ(r,t) = ∑ n
c n ψ n (r)e −iEnt/ ,
hvor konstanterne c n bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne Ψ(r,0).
4.1 Løsning af Schrödingerligningen i sfæriske koordinater
Hvis der videre er tale om en potentiale der kun er afstandsafhængigt er det specielt nemt at
udregne en løsning, da man her kan bruge sfæriske koordinater. Først opdeler man løsningen
som sædvanligt i den stedslige og den tidslige del, Ψ(R,t) = ψ(r)e −iEnt/ , og man arbejder så