Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

More documents

Recommendations

Info

14 3 Formalisme ⊲ Hvis spektret af egenværdier er diskret (separerede værdier) er egenfunktionerne i Hilbertrummet og de repræsenterer fysisk mulige tilstande. Egenværdierne i et diskret spektrum er reelle, og egenfunktionerne for forskellige egenværdier er indbyrdes orthogonale. Derudover gælder der også at alle egenfunktionerne for en operator danner et komplet sæt. ⊲ Hvis spektret af egenværdier er kontinuert (værdierne udfylder et område) er egenfunktionerne ikke normaliserbare, og de repræsenterer ikke hver for sig en fysisk tilstand. Dog kan man ved at lave lineære kombinationer af dem få en sådan. Her er egenværdierne ikke nødvendigvis reelle, men hvis man udvælger de egenfunktioner der faktisk har reelle egenværdier så får man et sæt med en form for orthonormalitet, der kaldes Dirac-orthonomalitet. Et sådant sæt er komplet, men man skal bruge integraler i stedet for summer når man laver kombinationer med dem. 3.3 Generaliseret statistisk fortolkning Hvis man måler en fysisk observabel Q(x,p) af en partikel i tilstanden Ψ(x,t) får man med sikkerhed en egenværdi for operatoren ˆQ(ˆx, ˆp). Hvis spektrummet for ˆQ er diskret er sandsynligheden for at få egenværdien q n tilhørende egenfunktionen f n (x) givet ved |c n | 2 , hvor c n = 〈f n |Ψ〉. Forventningsværdien for målingen er da givet ved 〈Q〉 = ∑ n q n |c n | 2 . Hvis spektret er kontinuert med reelle egenværdier q(z) og tilhørende Dirac-orthonomaliserede egenfunktioner f z (x) er sandsynligheden for at måle et resultat i området dz givet ved |c(z)| 2 dz, hvor c(z) = 〈f z |Ψ〉, og forventningsværdien for målingen er givet ved ∫ 〈Q〉 = q(z)|c(z)| 2 dz. 3.4 Dirac-notation Vektorer (funktioner) er repræsenteret som lineære kombinationer af basisvektorerne (basisfunktionerne) i Hilbertrummet, ved |α〉 = ∑ n a n |e n 〉, hvor a n = 〈e n |α〉 og |β〉 = ∑ n b n |e n 〉, hvor b n = 〈e n |β〉. Operatorer, der omformer én vektor til en anden |β〉 = ˆQ|α〉, er repræsenteret med hensyn til basisvektorerne (basisfunktionerne) ved matrixelementer givet ved Q mn ≡ 〈e m | ˆQ|e n 〉.
3 Formalisme 15 Sættes disse ting sammen fås at b m = ∑ n Q nm a n , så matrixelementerne i operatoren fortæller hvordan komponenterne af vektorerne transformeres. Hvis tilstanden beskrives i et N-dimensionalt vektorrum kan den repræsenteres som en søjlevektor med N komponenter, og operatorer kan beskrives som N × N-matricer b . Sætning 3.2 (Bra- og ket-notationen) Dirac indførte at man delte indre produkt-notationen op i bra, 〈α|, og ket, |β〉. Ket’en er en vektor mens bra’en er en operator der instruerer om at integrere ∫ 〈f| = f ∗ [· · · ]dx, hvor [· · · ] står for det som bra’en virker ind på. I et endeligt dimensionelt vektorrum et ket’en en søjlevektor ⎛ ⎞ a 1 a 2 |α〉 = ⎜ . ⎟ ⎝ ⎠ , a n som kan omskrives til den tilsvarende bra ved at transponere den til en rækkevektor og komplekst konjugere, altså 〈α| = ( ) a ∗ 1 a ∗ 2 · · · a ∗ n . ◭ b For et eksempel på et to-dimensionalt system, se eksempel 3.8 på siderne 132-134.
Page 1 and 2: Formelsamling til Fysik 5 - Eksamen
Page 3 and 4: Indholdsfortegnelse 3 Oversigt over
Page 5 and 6: 1 Bølgefunktionen 5 og der fås en
Page 7 and 8: 2 Den tids-uafhængige Schrödinger
Page 13: 3 Formalisme 13 Det indre produkt m
Page 17 and 18: 4 Kvantemekanik i tre dimensioner 1
Page 23 and 24: B Vigtige integraler 23 Appendikser
Page 25 and 26: E Egenskaber vi har fundet i opgave

Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?