Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

14 3 Formalisme
⊲ Hvis spektret af egenværdier er diskret (separerede værdier) er egenfunktionerne i Hilbertrummet
og de repræsenterer fysisk mulige tilstande. Egenværdierne i et diskret spektrum er
reelle, og egenfunktionerne for forskellige egenværdier er indbyrdes orthogonale. Derudover
gælder der også at alle egenfunktionerne for en operator danner et komplet sæt.
⊲ Hvis spektret af egenværdier er kontinuert (værdierne udfylder et område) er egenfunktionerne
ikke normaliserbare, og de repræsenterer ikke hver for sig en fysisk tilstand. Dog
kan man ved at lave lineære kombinationer af dem få en sådan. Her er egenværdierne ikke
nødvendigvis reelle, men hvis man udvælger de egenfunktioner der faktisk har reelle egenværdier
så får man et sæt med en form for orthonormalitet, der kaldes Dirac-orthonomalitet.
Et sådant sæt er komplet, men man skal bruge integraler i stedet for summer når man laver
kombinationer med dem.
3.3 Generaliseret statistisk fortolkning
Hvis man måler en fysisk observabel Q(x,p) af en partikel i tilstanden Ψ(x,t) får man med sikkerhed
en egenværdi for operatoren ˆQ(ˆx, ˆp). Hvis spektrummet for ˆQ er diskret er sandsynligheden
for at få egenværdien q n tilhørende egenfunktionen f n (x) givet ved
|c n | 2 , hvor c n = 〈f n |Ψ〉.
Forventningsværdien for målingen er da givet ved
〈Q〉 = ∑ n
q n |c n | 2 .
Hvis spektret er kontinuert med reelle egenværdier q(z) og tilhørende Dirac-orthonomaliserede
egenfunktioner f z (x) er sandsynligheden for at måle et resultat i området dz givet ved
|c(z)| 2 dz,
hvor c(z) = 〈f z |Ψ〉,
og forventningsværdien for målingen er givet ved
∫
〈Q〉 =
q(z)|c(z)| 2 dz.
3.4 Dirac-notation
Vektorer (funktioner) er repræsenteret som lineære kombinationer af basisvektorerne (basisfunktionerne)
i Hilbertrummet, ved
|α〉 = ∑ n
a n |e n 〉, hvor a n = 〈e n |α〉 og |β〉 = ∑ n
b n |e n 〉,
hvor b n = 〈e n |β〉.
Operatorer, der omformer én vektor til en anden |β〉 = ˆQ|α〉, er repræsenteret med hensyn til
basisvektorerne (basisfunktionerne) ved matrixelementer givet ved
Q mn ≡ 〈e m | ˆQ|e n 〉.