Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

3 Formalisme 13
Det indre produkt mellem to funktioner f og g i dette rum er defineret ved
〈f|g〉 ≡
∫ b
a
f ∗ (x)g(x)dx < ∞.
Bemærk at 〈f|g〉 = 〈g|f〉 ∗ , samt at 〈f|f〉 er reel og ikke-negativ, samt at den kun er nul hvis
f(x) = 0.
◭
En funktion f kaldes normaliseret hvis 〈f|f〉 = 1, to funktioner f og g er orthogonale hvis
〈f|g〉 = 0 og et sæt af funktioner {f n } er orthonomalt hvis der gælder at
〈f n |f m 〉 = δ nm .
Til sidst kaldes et sæt af funktioner for komplet hvis alle andre funktioner i Hilbert-rummet kan
skrives op som en lineær kombination af sættets funktioner:
f(x) =
∞∑
c n f n (x).
n=1
Hvis basissættet er orthonormalt er koefficienterne givet ved
c n = 〈f n |f〉.
3.2 Operatorer og observable
Forventningsværdien for en observabel kan skrives pænt med indre produkt-notationen,
∫
〈Q〉 =
Ψ ∗ ˆQΨdx = 〈Ψ| ˆQΨ〉,
og da en observabel skal være reel gælder der at 〈Q〉 = 〈Q〉 ∗ , hvorfor der gælder at 〈Ψ| ˆQΨ〉 =
〈 ˆQΨ|Ψ〉. Operatorer der repræsenterer fysiske observable har derfor den fine egenskab at
〈f| ˆQg〉 = 〈 ˆQf|g〉
for alle f(x) og g(x). Sådanne operatorer kaldes for hermitiske.
Lige som stationære tilstande er egentilstande til Hamiltonoperatoren, og dermed har en velbestemt
energi, kan man også finde egentilstande til andre operatorer. Man får da at egentilstanden
har en velbestemt observabel tilhørende operatoren. Egenværdiligningen er
ˆQΨ = qΨ,
hvor Ψ er en egenfunktion til ˆQ og q er den tilhørende egenværdi. Samlingen af alle egenværdier
for en operator kaldes et spektrum. Hvis der er flere egenværdier med samme egenfunktion er
spektrum’et degenereret, eller udartet.
Egenfunktionerne til hermitiske operatorer falder i to kategorier: