Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

More documents

Recommendations

Info

12 3 Formalisme Hvis brønden her er dyb og bred er der skæring ved z n = nπ/2 med n lige, altså ved π, 2π, 3π osv. Energien bliver da E + V 0 ∼ = n 2 π 2 2 2m(2a) 2 , n lige. Hvis z 0 < π/2, hvilket svarer til at V 0 < π 2 2 /2ma 2 , er der ikke nogen ulige bunden tilstand – så der er altså kun den ene lige bundne tilstand tilbage her. Nu vil jeg så se på spredningstilstandene, hvor E > 0. Løsningerne for dette potentiale er også delt op i tre dele, givet ved x < −a : ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx , −a < x < a : ψ(x) = C sin lx + D cos lx, a < x : ψ(x) = Fe ikx , hvor de to positive reelle konstanter k og l er defineret ved k ≡ √ 2mE og √ 2m(E + V0 ) l ≡ . Man kan se A som den indgående amplitude, B som den reflekterede amplutude og F som den transmitterede amplitude. Kontinuitet af bølgefunktionen for x = ±a og af dens afledte giver at B = i sin (2la) (l 2 − k 2 )F og F = 2kl e −2ika A cos (2la) − i k2 +l 2 2kl sin (2la) , hvilket giver en transmissionskoefficient T = |F | 2 /|A| 2 på T −1 V 2 ( ) 0 2a √ = 1 + 4E(E + V 0 ) sin2 2m(E + V0 ) , som er lig med 1 (der svarer til at brønden er “gennemsigtig”) præcist når 2a√ 2m(E + V0 ) = nπ ⇔ E + V 0 = n2 π 2 2 2m(2a) 2 . 3 Formalisme 3.1 Hilbert rum Hvis vi arbejder med kvantemekanikken med lineær algebra er bølgefunktionerne vektorer og operatorerne er matricer. Men der er ikke tale om vektorer der lever i et Euklidisk rum, derimod et uendeligt-dimensionalt rum der har funktioner som basisvektorer. Dette rum er Hilbertrummet, som jeg nu vil definere. Definition 3.1 (Hilbert rum) Hilbertrummet er defineret som indeholdende alle kvadratisk integrable funktioner. For at en funktion kan være i Hilbertrummet skal der altså gælde at f(x) så ∫ b a |f(x)| 2 dx < ∞.
3 Formalisme 13 Det indre produkt mellem to funktioner f og g i dette rum er defineret ved 〈f|g〉 ≡ ∫ b a f ∗ (x)g(x)dx < ∞. Bemærk at 〈f|g〉 = 〈g|f〉 ∗ , samt at 〈f|f〉 er reel og ikke-negativ, samt at den kun er nul hvis f(x) = 0. ◭ En funktion f kaldes normaliseret hvis 〈f|f〉 = 1, to funktioner f og g er orthogonale hvis 〈f|g〉 = 0 og et sæt af funktioner {f n } er orthonomalt hvis der gælder at 〈f n |f m 〉 = δ nm . Til sidst kaldes et sæt af funktioner for komplet hvis alle andre funktioner i Hilbert-rummet kan skrives op som en lineær kombination af sættets funktioner: f(x) = ∞∑ c n f n (x). n=1 Hvis basissættet er orthonormalt er koefficienterne givet ved c n = 〈f n |f〉. 3.2 Operatorer og observable Forventningsværdien for en observabel kan skrives pænt med indre produkt-notationen, ∫ 〈Q〉 = Ψ ∗ ˆQΨdx = 〈Ψ| ˆQΨ〉, og da en observabel skal være reel gælder der at 〈Q〉 = 〈Q〉 ∗ , hvorfor der gælder at 〈Ψ| ˆQΨ〉 = 〈 ˆQΨ|Ψ〉. Operatorer der repræsenterer fysiske observable har derfor den fine egenskab at 〈f| ˆQg〉 = 〈 ˆQf|g〉 for alle f(x) og g(x). Sådanne operatorer kaldes for hermitiske. Lige som stationære tilstande er egentilstande til Hamiltonoperatoren, og dermed har en velbestemt energi, kan man også finde egentilstande til andre operatorer. Man får da at egentilstanden har en velbestemt observabel tilhørende operatoren. Egenværdiligningen er ˆQΨ = qΨ, hvor Ψ er en egenfunktion til ˆQ og q er den tilhørende egenværdi. Samlingen af alle egenværdier for en operator kaldes et spektrum. Hvis der er flere egenværdier med samme egenfunktion er spektrum’et degenereret, eller udartet. Egenfunktionerne til hermitiske operatorer falder i to kategorier:
Page 1 and 2: Formelsamling til Fysik 5 - Eksamen
Page 3 and 4: Indholdsfortegnelse 3 Oversigt over
Page 5 and 6: 1 Bølgefunktionen 5 og der fås en
Page 7 and 8: 2 Den tids-uafhængige Schrödinger
Page 9 and 10: 2 Den tids-uafhængige Schrödinger
Page 11: 2 Den tids-uafhængige Schrödinger
Page 15 and 16: 3 Formalisme 15 Sættes disse ting
Page 17 and 18: 4 Kvantemekanik i tre dimensioner 1
Page 23 and 24: B Vigtige integraler 23 Appendikser
Page 25 and 26: E Egenskaber vi har fundet i opgave

Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?