Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 11
den er en konstant mindre end nul. Der gælder at
{
−V 0 for − a < x < a
V (x) =
0 for |x| > a.
Først vil jeg se på de bundne tilstande, hvor E < 0. Løsningerne for dette potentiale er her delt
op i tre dele, hvert sin interval på hver sin side og i brønden, hvor løsningerne er givet ved
x < −a : ψ(x) = Be κx ,
−a < x < a :
ψ(x) = C sin lx + D cos lx,
a < x : ψ(x) = Fe −κx ,
hvor de to positive reelle konstanter κ og l er defineret ved
κ ≡
√
−2mE
og
√
2m(E + V0 )
l ≡
.
Da potentialet er en lige funktion vil bølgefunktionerne være enten lige eller ulige, hvorfor man
deler det op i disse to tilfælde, som jeg vil klare hver for sig.
⊲ De lige løsninger vil være givet på formen
⎧
⎪⎨ ψ(−x) for x < 0,
ψ(x) = D cos lx for 0 < x < a,
⎪⎩
Fe −κx for a < x.
Her skal der gælde at κ = l tan la for at bølgefunktionen er kontinuert i x = a og har en
kontinuert afledt. Med definitionen af z ≡ la og z 0 ≡ a √ 2mV 0 / fås at κa = √ z0 2 − z2 og
der gælder at
√ (z0 ) 2
tan z = − 1.
z
Hvis brønden bliver bred og dyb er z 0 meget stor og skæringen mellem tan z og √ (z 0 /z) 2 − 1
ligger lige omkring z n = nπ/2 med n ulige. Her er energien
E + V 0
∼ =
n 2 π 2 2
2m(2a) 2 ,
n ulige.
Hvis brønden derimod er meget smal og ikke særlig dyb bliver z 0 lille, og der kommer mindre
og mindre antal bunde tilstande. Når z 0 < π/2 er der kun en bunden tilstand tilbage, men
denne vil blive ved med at være der.
⊲ De ulige løsninger vil være givet på formen
⎧
⎪⎨ −ψ(−x) for x < 0,
ψ(x) = C sinlx for 0 < x < a,
⎪⎩
Fe −κx for a < x.
Her medfører kontinuitet af bølgefunktionen for x = a samt kontinuitet af dens afledte at
−κa = lacot la, der igen medfører at
√ (z0 ) 2
−cot z = − 1.
z