Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

10 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
I kvantemekanikken er det kun potentialet i uendeligt der gælder – for selv en meget høj
barrierre vil kunne tillade at partikler tunnellerer igennem den. Der gælder altså at
{
E < [V (−∞) og V (+∞)] ⇒ bunden tilstand
E > [V (−∞) og V (+∞)] ⇒ spredningstilstand.
Normalt er V (±∞) = 0, hvilket forsimpler regningerne endnu mere.
◭
Definition 2.4 (Dirac delta funktionen) Dirac delta funktionen er en uendeligt høj og uendeligt
tynd top. Den er defineret som
{
∫
0 hvis x ≠ a +∞
δ(x − a) ≡
∞ hvis x = a , δ(x − a)dx = 1.
Der gælder at f(x)δ(x − a) = f(a)δ(x − a), og specielt at
−∞
∫ +∞
−∞
f(x)δ(x − a)dx = f(a).
◭
Et potentiale som er formet af en negativ Dirac delta funktion er en brønd. Hvis potentialet har
formen V (x) = −αδ(x) bliver der præcist en bunden tilstand (hvor E < 0), givet ved
ψ(x) =
√ mα
e−mα|x|/2 , E = − mα2
2 2 .
Når E > 0 er der tale om spredningstilstande, og det viser sig at man kan se bølgefunktionen som
flere dele a : En del der kommer ind fra den ene side, der derefter splittes op i to; en del der går lige
igennem til den anden side og en del der sendes tilbage fra brønden.
Man definerer reflektionskoefficienten R som sandsynligheden for at en indgående partikel
bliver sendt tilbage og transmissionskoeffeicienten som sandsynligheden for at en indgående
partikel går igennem, og
R =
1
1 + ( 1
) og T =
2 2 E
mα
1 + ( ).
mα 2
2 2 2 E
Så des større energi, jo større sandsynlighed for transmission. Bemærk at der gælder at R+T = 1
(partikelantallet er bevaret!).
Hvis vi i stedet ser på en delta funktion barriere, hvor V (x) = αδ(x), vil den ene bundne tilstand
forsvinde, men reflektions- og transmissionskoefficienterne er de samme! Der er altså en
mulighed for at en partikel går igennem barrieren selv om den har en energi der er mindre end
toppen af potentialet.
2.6 Det endelige brøndpotentiale
Det endelige brøndpotentiale er lige som det uendelige brøndpotentiale, men med den forskel at
potentialet ikke går op til uendeligt, men derimod er nul undtagen for et bestemt område, hvor
a Læs fra midten af side 85 og frem for en udførlig forklaring af dette resultat.