Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

Formelsamling til Fysik 5
– Eksamensnoter til Kvantemekanik I
Pia Jensen, www.fys.ku.dk/~bozack,
28. oktober 2008,
Version 1.2.

2 Indholdsfortegnelse
Indledning
Denne formelsamling samler de vigtigste formler og metoder til andenårs fysikkurset Fysik 5
(Kvant I) på Københavns Universitet. Dette kursus omhandler kvantemekanik, og er en introduktion
til det videre kursus Fysik 8 (Kvant II). I kursets pensum er størstedelen af kapitlerne 1-5 fra
bogen Introduction to Quantum Mechanics af David J. Griffiths.
Jeg vil i denne formelsamling følge bogens opbygning med mine afsnitsnumre – så det er
nemmere at slå op i bogen hvis der er noget man vil have uddybet nærmere. Udledninger vil der
ikke være, med mindre visse mellemresultater er specifikt gode at bruge til et eller andet.
Indholdsfortegnelse
1 Bølgefunktionen 4
2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 6
2.2 Det uendelige brøndpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Den harmoniske oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Den fri partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Delta-funktions potentialet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Det endelige brøndpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Formalisme 12
3.1 Hilbert rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Operatorer og observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Generaliseret statistisk fortolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Dirac-notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Kvantemekanik i tre dimensioner 16
4.1 Løsning af Schrödingerligningen i sfæriske koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Hydrogenatomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Bevægelsesmængdemoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Identiske partikler 22
A Regneregler 23
A.1 Kommutatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.2 Hermitiske operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B Vigtige integraler 23
C Vigtige matematiske formler 24
D Fourierserier og Fouriertransformationer 24
E Egenskaber vi har fundet i opgaver 25
Indeks 26

Indholdsfortegnelse 3
Oversigt over sætninger og definitioner
1.1 Diskrete sandsynligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Kontinuerte sandsynligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Forventningsværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Kommutatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Forventningsværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Bundne tilstande og spredningstilstande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Dirac delta funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Hilbert rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Bra- og ket-notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Kanoniske kommutationsrelationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Kvantetallene l og m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Hydrogens spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Spin 1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1 Bosoner og fermioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 1 Bølgefunktionen
1 Bølgefunktionen
Kvantemekanikken bygger på at systemer beskrives ved deres bølgefunktion Ψ(x,t). Denne findes
ved at løse Schrödingers ligning,
i ∂Ψ
∂t = − 2 ∂ 2 Ψ
2m ∂x 2 + V Ψ,
for det potentiale V som systemet er i. Her er Plancks konstant, givet ved
= h
2π = 1.054572 × 10−34 J s.
Sandsynlighedsfortolkningen siger så at |Ψ(x,t)| 2 er sandsynligheden for at finde partiklen ved x
til tiden t, og det generaliseres til at
∫ b
{ }
sandsynlighed for at finde partiklen
|Ψ(x,t)| 2 dx =
.
mellem a og b til tiden t
a
En måling på en partikel gør at bølgefunktionen kollapser omkring den værdi som man målte –
så hvis man måler igen får man med sikkerhed det samme resultat. Bølgefunktionen vil efter tid
udvikle sig efter Schrödingers ligning igen, og brede sig mere ud.
Sætning 1.1 (Diskrete sandsynligheder) Hvis P(j) er sandsynligheden for at vælge j (hvor
der altså skal gælde at ∑ P(j) = 1), vil en gennemsnitsværdi af j være givet ved summen af
værdierne gange deres tilhørende gennemsnit, og mere generelt er gennemsnittet af en funktion
af j givet ved summen af funktionerne gange sandsynlighederne, altså
〈j〉 =
n∑
jP(j) ⇒ 〈f(j)〉 =
j=0
n∑
f(j)P(j).
Vi definerer standardafvigelsen σ ved først at definere ∆j = j − 〈j〉, og derefter se at
j=0
σ 2 = 〈(∆j) 2 〉 = 〈j 2 〉 − 〈j〉 2 ,
hvor der normalt gælder at 〈j 2 〉 ≥ 〈j〉 2 , hvor de to kun er lig med hinanden når σ = 0.
◭
Sætning 1.2 (Kontinuerte sandsynligheder) Vi definerer sandsynlighedstætheden ρ(x)
ved
{ }
sandsynlighed for at en tilfældigt valgt partikel
ρ(x)dx =
.
ligger mellem x og x + dx
Sandsynligheden for at man finder partiklen mellem a og b er da givet ved et integrale
P ab =
∫ b
a
ρ(x)dx,
og der skal som før gælde at ∫ ρ(x)dx = 1 hvis man integrerer over hele intervallet. Her er
gennemsnitsværdier givet næsten som ved diskrete sandsynligheder, og vi har at
〈x〉 =
∫ +∞
−∞
xρ(x)dx ⇒ 〈f(x)〉 =
∫ +∞
−∞
f(x)ρ(x)dx,

1 Bølgefunktionen 5
og der fås en standardafvigelse på σ 2 = 〈(∆x)〉 2 = 〈x 2 〉 − 〈x〉 2 .
◭
Bølgefunktionen kvadreret er en kontinuert sandsynlighedstæthed som ρ(x) ovenfor, og denne skal
være normaliseret for at den kan give nogen fysisk mening, så vi lægger kravet at
∫ +∞
−∞
|Ψ(x,t)| 2 dx = 1.
Dette kan gøres eftersom vi ved at hvis Ψ(x,t) er en løsning til Schrödingerligningen, så er AΨ(x,t)
det også – så vi skal bare vælge konstanten A så integralet ovenfor gælder. Denne proces kaldes
normalisering, og man gør den normalt for t = 0. Det vises i bogen at hvis bølgefunktionen er
normaliseret til tiden nul, så er den det også til alle andre tider. Et mellemresultat for beviset af
dette bruges ofte, og jeg vil altså have det med her (bemærk at generelt betyder |Ψ| 2 = Ψ ∗ Ψ)
∂
∂t |Ψ|2 = i (
Ψ ∗ ∂2 Ψ
2m ∂x 2 − ∂2 Ψ ∗ )
∂x 2 Ψ = ∂ [ ( i
Ψ ∗ ∂Ψ )]
∂x 2m ∂x − ∂Ψ∗
∂x Ψ .
Fra samme bevis forklares det også at Ψ(x,t) skal gå mod nul for x → ±∞, ellers kan den jo ikke
normaliseres.
Definition 1.3 (Forventningsværdi) Forventningsværdien for en variabel defineres som gennemsnittet
af gentagne målinger på en samling af identisk forberedte systemer. Den er givet
ved udtrykket (her for x)
〈x〉 =
∫ +∞
−∞
Ψ ∗( x ) Ψdx.
Mere generelt indfører man en operator som skal operere på bølgefunktionen for at give forventningsværdien
for den variable operatoren repræsenterer. Operatoren for impulsen p er en
differentialoperator, givet så 〈p〉 = md〈x〉/dt, altså
〈p〉 =
∫ +∞
−∞
Ψ ∗ (
i
)
∂
Ψdx,
∂x
og helt generelt kan man finde alle variable der afhænger af position x og impuls p ved
〈Q(x,p)〉 =
∫ +∞
−∞
(
Ψ ∗ Q x, )
∂
Ψdx.
i ∂x
Udtrykket for Q er simpelthen bare det klassisk kendte udtryk for den variable man vil måle,
som funktion af sted og impuls.
◭
Heisenbergs usikkerhedsprincip siger at man ikke kan måle sted og impuls helt nøjagtigt på
samme system, og at der altså gælder at
σ x σ p ≥ 2 ,
hvor σ x er standardafvigelsen i x og σ p er standardafvigelsen i p.

6 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
Når potentialet V i Schrödingers ligning er uafhængigt af tiden tales der om stationære tilstande.
Her kan man løse ligningen med separation af de variable, Ψ(x,t) = ψ(x)ϕ(t). Her får vi at
− 2 ∂ 2 ψ
+ V ψ = Eψ ⇔ Ĥψ = Eψ
2m ∂x2 og at ϕ(t) = e −iEt/ . Denne ligning kaldes den tids-uafhængige Schrödingerligning, og denne
skal løses for givne potentialer V (x).
Det specielle for disse stationære tilstande er tre specifikke ting:
⊲ Sandsynlighedstætheden afhænger kun af x, ikke af tiden, hvorfor der gælder at |Ψ(x,t)| 2 =
|ψ(x)| 2 , hvilket medfører at
〈Q(x,p)〉 =
∫ +∞
−∞
(
ψ ∗ Q x, )
∂
ψ dx,
i ∂x
der betyder at alle målbare variable er konstante i tiden. Specielt er 〈p〉 = 0 – der sker aldrig
noget i en stationær tilstand!
⊲ Bølgefunktionerne tilhører en bestemt energi. Vi definerer Hamiltonoperatoren som
Ĥ = ˆp2
2
+ V (x) = −
2m 2m
∂ 2
∂x 2 + V (x),
hvorved den tids-uafhængige Schrödingerligning kan skrives som et egenværdiproblem Ĥψ =
Eψ. Hamiltonoperatoren er den totale energi (kinetisk plus potentiel). Man kan vise at
〈H〉 = E og 〈H 2 〉 = E 2 , hvorfor energien er helt præcist bestemt, da σ H = 0.
⊲ Den generelle løsning til den tids-uafhængige Schrödingerligning er en lineær kombination af
løsninger, hver med deres specifikke energi. Der er altså en forskellig bølgefunktion for hver
tilladt egenenergi. Man kan altså for en kendt egenfunktion til tiden nul finde konstanterne
c n så
∞∑
Ψ(x,0) = c n ψ n (x),
og disse samme konstanter bruges så til at finde den tidsafhængige bølgefunktion ved
n=1
n=1
∞∑
∞∑
Ψ(x,t) = c n ψ n (x)e −iEnt/ = c n Ψ n (x,t).
n=1
2.2 Det uendelige brøndpotentiale
Det uendelige brøndpotentiale er karakteriseret ved at være nul inden for et vist område, og
ellers uendeligt. Vi ser på potentialet af formen
V (x) =
{
0, hvis 0 ≤ x ≤ a
∞, ellers.

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 7
Uden for brønden vil ψ(x) = 0 over alt, men inden for brønden er bølgefunktionen givet ved
ψ n (x) =
√
2
a sin ( nπ
a x )
,
med tilhørende egenenergier
E n = 2 k 2 n
2m = 2 n 2 π 2
2ma 2 , k n = nπ a .
Disse løsninger har nogle vigtige egenskaber, som jeg vil opliste her:
⊲ De er skiftevis lige og ulige med hensyn til centrum af brønden.
⊲ Jo højere energi, des flere “noder” har bølgefunktionen. En node er en krydsning af x-aksen.
For hver n man går op kommer der én node mere. ψ 1 har ingen noder, ψ 2 har én node, osv.
⊲ Bølgefunktionerne er indbyrdes orthogonale. Der gælder altså at
∫
ψ ∗ m(x)ψ n (x)dx = δ mn ,
hvor δ mn er Kronecker-deltaet, der er 1 når m = n og ellers er nul.
⊲ Sættet af bølgefunktioner er komplet, hvilket betyder at alle andre funktioner inden for
intervallet hvor de er defineret (0 ≤ x ≤ a) kan beskrives som en lineær kombination af dem.
Man kan altså, hvis man kender bølgefunktionen til tiden nul, opskrive
Ψ(x,0) =
√ ∞∑
2
c n ψ n (x), hvor c n =
a
n=1
hvorved man kan få den tidsafhængige bølgefunktion til at være
√
2
∞∑ ( nπ
)
Ψ(x,t) = c n sin
a a x e −in2 π 2 t/2ma 2 .
n=1
∫ a
0
( nπ
)
sin
a x Ψ(x,0)dx,
Det sidste punkt er vigtigt at bemærke, da konstanten c n fortæller noget om systemet, nemlig
hvor meget af bølgefunktionen nummer n der er “indeholdt” i det system man ser på. Værdien
|c n | 2 fortæller hvad sandsynligheden er for at måle energien E n hvis man måler på systemet, og
der gælder at ∑ c n = 1. Mere vigtigt gælder der at
∞∑
〈H〉 = |c n | 2 E n .
n=1
2.3 Den harmoniske oscillator
Det harmoniske potentiale er karakteriseret ved
V (x) = 1 2 mω2 x 2 ,

8 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
hvor ω er frekvensen, der ud fra fjederkonstanten k er givet ved ω = √ k/m. Vi definerer først
hæve- og sænkeoperatoren givet ved
a ± ≡
1
√
2mω
(∓iˆp + mωˆx) .
Der gælder for disse operatorer at de er hinandens komplekst konjugerede (a † − = a + og a † + = a − )
og at deres kommutator er 1 ([a − ,a + ] = 1 så a − a + = 1 + a + a − ).
Definition 2.1 (Kommutatorer) En kommutator viser hvor meget to operatorer fejler i at
kommutere. Kommutatoren er defineret for to generelle operatorer  og ˆB ved
[Â, ˆB] = Â ˆB − ˆBÂ.
Når man arbejder med kommutatorer er det smart at indsætte en arbitrær funktion og operere
på den, for så til sidst at fjerne den igen. Den vigtigste kommutator i kvantemekanikken er den
mellem position og impuls, der er givet ved
[ˆx, ˆp] = i,
og også kaldes for den kanoniske kommutatorrelation.
◭
Vi kan med hæve- og sænkeoperatorerne skrive Hamiltonoperatoren som
(
Ĥ = ω a ± a ∓ ± 1 )
.
2
Dette betyder, at hvis ψ er en løsning til den tids-uafhængige Schrödingerligning med energi E,
så er a + ψ en løsning med tilhørende energi E + ω og a − ψ er en løsning med energi E − ω.
Man kommer dog til et punkt hvor man ikke kan “sænke” energien mere, og dette punkts
bølgefunktion kalder vi for ψ 0 . Der gælder altså at a − ψ 0 = 0, og det kan vises at
ψ 0 (x) =
( mω
) 1/4
e
− mω
2 x2 ,
π
E 0 = 1 2 ω.
De videre løsninger findes til at være
ψ n (x) = √ 1
(
(a + ) n ψ 0 (x), E n = n + 1 )
ω.
n! 2
Disse løsninger, er lige som ved det uendelige brøndpotentiale, orthogonale, så der gælder at
∫
ψ ∗ m(x)ψ n (x)dx = δ mn .
Derfor kan vi igen bruge fremgangsmåden fra det uendelige brøndpotentiale for at finde en specifik
løsning når vi kender bølgefunktionen til tiden nul, og igen har vi at |c n | 2 er sandsynligheden for
at måle den tilhørende energi E n .
Eksempel 2.5 på side 61 i bogen viser hvordan man finder forventningsværdier på en nem måde
ved at bruge hæve- og sænkeoperatorerne i stedet for at skrive alt ud.

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 9
Sætning 2.2 (Forventningsværdier) Når man skal finde forventningsværdier er det praktisk at
have de to identiteter
ˆx =
√
) (â+ + â − ,
2mω
√
mω )
ˆp = i
(â+ − â − .
2
Herfra kan man så anvende at â + ψ n = √ n + 1ψ n+1 , at â − ψ n = √ nψ n−1 samt at
bølgefunktionerne er ortonormale.
◭
2.4 Den fri partikel
Den fri partikel er kendetegnet ved at potentialet er nul over alt hvor den kan være. Løsningerne
til den tids-uafhængige Schrödingerligning er her et kontinuert spektrum af bølgefunktioner givet
ved
(
Ψ k (x,t) = Ae i kx− k2
2m
), t 2mE
k ≡ ±√
.
Konstanten k kan være både positiv og negativ, med følgende relation
{
k > 0, ⇒ bølge der bevæger sig mod højre
k < 0, ⇒ bølge der bevæger sig mod venstre.
Disse løsninger er ikke normaliserbare, hvorfor der ikke findes sådan noget som en fri partikel. Men
løsningerne kan bruges til noget andet end lige at beskrive denne fri partikel. Man kan lave en
lineær kombination af løsningerne til at få en bølgefunktion der er normaliserbar. Man kan altså
få en normaliserbar bølgefunktion ved
Ψ(x,t) = √ 1 ∫ +∞
2π
−∞
( )
φ(k)e i kx− k2
2m t dk.
Her spiller φ(k)/ √ 2π rollen som konstanten der ganges på for hvert k som vi før havde en konstant
c n . Vi kan altså igen opskrive en kendt bølgefunktion til tiden nul ved dette og derefter få
tidsudviklingen af den, nu med
Ψ(x,0) = √ 1 ∫ +∞
φ(k)e ikx dk, φ(k) = 1 ∫ +∞
√ Ψ(x,0)e −ikx dx.
2π 2π
−∞
Dette kaldes for en bølgepakke.
−∞
2.5 Delta-funktions potentialet
Definition 2.3 (Bundne tilstande og spredningstilstande) En bunden tilstand er en tilstand
hvor potentialet er højere end systemets energi, hvorfor systemet vil holde sig der hvor
der er en “grav” i potentialet. Her vil systemet så oscillere frem eller tilbage (eller stå stille) –
men det vil ikke kunne forlade “graven”. En spredningstilstand er en tilstand hvor systemets
energi er højere end potentialet, og hvor systemet derfor kan bevæge sig frit over det hele.

10 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
I kvantemekanikken er det kun potentialet i uendeligt der gælder – for selv en meget høj
barrierre vil kunne tillade at partikler tunnellerer igennem den. Der gælder altså at
{
E < [V (−∞) og V (+∞)] ⇒ bunden tilstand
E > [V (−∞) og V (+∞)] ⇒ spredningstilstand.
Normalt er V (±∞) = 0, hvilket forsimpler regningerne endnu mere.
◭
Definition 2.4 (Dirac delta funktionen) Dirac delta funktionen er en uendeligt høj og uendeligt
tynd top. Den er defineret som
{
∫
0 hvis x ≠ a +∞
δ(x − a) ≡
∞ hvis x = a , δ(x − a)dx = 1.
Der gælder at f(x)δ(x − a) = f(a)δ(x − a), og specielt at
−∞
∫ +∞
−∞
f(x)δ(x − a)dx = f(a).
◭
Et potentiale som er formet af en negativ Dirac delta funktion er en brønd. Hvis potentialet har
formen V (x) = −αδ(x) bliver der præcist en bunden tilstand (hvor E < 0), givet ved
ψ(x) =
√ mα
e−mα|x|/2 , E = − mα2
2 2 .
Når E > 0 er der tale om spredningstilstande, og det viser sig at man kan se bølgefunktionen som
flere dele a : En del der kommer ind fra den ene side, der derefter splittes op i to; en del der går lige
igennem til den anden side og en del der sendes tilbage fra brønden.
Man definerer reflektionskoefficienten R som sandsynligheden for at en indgående partikel
bliver sendt tilbage og transmissionskoeffeicienten som sandsynligheden for at en indgående
partikel går igennem, og
R =
1
1 + ( 1
) og T =
2 2 E
mα
1 + ( ).
mα 2
2 2 2 E
Så des større energi, jo større sandsynlighed for transmission. Bemærk at der gælder at R+T = 1
(partikelantallet er bevaret!).
Hvis vi i stedet ser på en delta funktion barriere, hvor V (x) = αδ(x), vil den ene bundne tilstand
forsvinde, men reflektions- og transmissionskoefficienterne er de samme! Der er altså en
mulighed for at en partikel går igennem barrieren selv om den har en energi der er mindre end
toppen af potentialet.
2.6 Det endelige brøndpotentiale
Det endelige brøndpotentiale er lige som det uendelige brøndpotentiale, men med den forskel at
potentialet ikke går op til uendeligt, men derimod er nul undtagen for et bestemt område, hvor
a Læs fra midten af side 85 og frem for en udførlig forklaring af dette resultat.

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 11
den er en konstant mindre end nul. Der gælder at
{
−V 0 for − a < x < a
V (x) =
0 for |x| > a.
Først vil jeg se på de bundne tilstande, hvor E < 0. Løsningerne for dette potentiale er her delt
op i tre dele, hvert sin interval på hver sin side og i brønden, hvor løsningerne er givet ved
x < −a : ψ(x) = Be κx ,
−a < x < a :
ψ(x) = C sin lx + D cos lx,
a < x : ψ(x) = Fe −κx ,
hvor de to positive reelle konstanter κ og l er defineret ved
κ ≡
√
−2mE
og
√
2m(E + V0 )
l ≡
.
Da potentialet er en lige funktion vil bølgefunktionerne være enten lige eller ulige, hvorfor man
deler det op i disse to tilfælde, som jeg vil klare hver for sig.
⊲ De lige løsninger vil være givet på formen
⎧
⎪⎨ ψ(−x) for x < 0,
ψ(x) = D cos lx for 0 < x < a,
⎪⎩
Fe −κx for a < x.
Her skal der gælde at κ = l tan la for at bølgefunktionen er kontinuert i x = a og har en
kontinuert afledt. Med definitionen af z ≡ la og z 0 ≡ a √ 2mV 0 / fås at κa = √ z0 2 − z2 og
der gælder at
√ (z0 ) 2
tan z = − 1.
z
Hvis brønden bliver bred og dyb er z 0 meget stor og skæringen mellem tan z og √ (z 0 /z) 2 − 1
ligger lige omkring z n = nπ/2 med n ulige. Her er energien
E + V 0
∼ =
n 2 π 2 2
2m(2a) 2 ,
n ulige.
Hvis brønden derimod er meget smal og ikke særlig dyb bliver z 0 lille, og der kommer mindre
og mindre antal bunde tilstande. Når z 0 < π/2 er der kun en bunden tilstand tilbage, men
denne vil blive ved med at være der.
⊲ De ulige løsninger vil være givet på formen
⎧
⎪⎨ −ψ(−x) for x < 0,
ψ(x) = C sinlx for 0 < x < a,
⎪⎩
Fe −κx for a < x.
Her medfører kontinuitet af bølgefunktionen for x = a samt kontinuitet af dens afledte at
−κa = lacot la, der igen medfører at
√ (z0 ) 2
−cot z = − 1.
z

12 3 Formalisme
Hvis brønden her er dyb og bred er der skæring ved z n = nπ/2 med n lige, altså ved π, 2π,
3π osv. Energien bliver da
E + V 0
∼ =
n 2 π 2 2
2m(2a) 2 ,
n lige.
Hvis z 0 < π/2, hvilket svarer til at V 0 < π 2 2 /2ma 2 , er der ikke nogen ulige bunden tilstand
– så der er altså kun den ene lige bundne tilstand tilbage her.
Nu vil jeg så se på spredningstilstandene, hvor E > 0. Løsningerne for dette potentiale er også
delt op i tre dele, givet ved
x < −a : ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx ,
−a < x < a :
ψ(x) = C sin lx + D cos lx,
a < x : ψ(x) = Fe ikx ,
hvor de to positive reelle konstanter k og l er defineret ved
k ≡
√
2mE
og
√
2m(E + V0 )
l ≡
.
Man kan se A som den indgående amplitude, B som den reflekterede amplutude og F som
den transmitterede amplitude. Kontinuitet af bølgefunktionen for x = ±a og af dens afledte
giver at
B = i
sin (2la)
(l 2 − k 2 )F og F =
2kl
e −2ika A
cos (2la) − i k2 +l 2
2kl
sin (2la) ,
hvilket giver en transmissionskoefficient T = |F | 2 /|A| 2 på
T −1 V 2 ( )
0 2a √
= 1 +
4E(E + V 0 ) sin2 2m(E + V0 ) ,
som er lig med 1 (der svarer til at brønden er “gennemsigtig”) præcist når
2a√ 2m(E + V0 ) = nπ ⇔ E + V 0 = n2 π 2 2
2m(2a) 2 .
3 Formalisme
3.1 Hilbert rum
Hvis vi arbejder med kvantemekanikken med lineær algebra er bølgefunktionerne vektorer og
operatorerne er matricer. Men der er ikke tale om vektorer der lever i et Euklidisk rum, derimod
et uendeligt-dimensionalt rum der har funktioner som basisvektorer. Dette rum er Hilbertrummet,
som jeg nu vil definere.
Definition 3.1 (Hilbert rum) Hilbertrummet er defineret som indeholdende alle kvadratisk
integrable funktioner. For at en funktion kan være i Hilbertrummet skal der altså gælde at
f(x)
så
∫ b
a
|f(x)| 2 dx < ∞.

3 Formalisme 13
Det indre produkt mellem to funktioner f og g i dette rum er defineret ved
〈f|g〉 ≡
∫ b
a
f ∗ (x)g(x)dx < ∞.
Bemærk at 〈f|g〉 = 〈g|f〉 ∗ , samt at 〈f|f〉 er reel og ikke-negativ, samt at den kun er nul hvis
f(x) = 0.
◭
En funktion f kaldes normaliseret hvis 〈f|f〉 = 1, to funktioner f og g er orthogonale hvis
〈f|g〉 = 0 og et sæt af funktioner {f n } er orthonomalt hvis der gælder at
〈f n |f m 〉 = δ nm .
Til sidst kaldes et sæt af funktioner for komplet hvis alle andre funktioner i Hilbert-rummet kan
skrives op som en lineær kombination af sættets funktioner:
f(x) =
∞∑
c n f n (x).
n=1
Hvis basissættet er orthonormalt er koefficienterne givet ved
c n = 〈f n |f〉.
3.2 Operatorer og observable
Forventningsværdien for en observabel kan skrives pænt med indre produkt-notationen,
∫
〈Q〉 =
Ψ ∗ ˆQΨdx = 〈Ψ| ˆQΨ〉,
og da en observabel skal være reel gælder der at 〈Q〉 = 〈Q〉 ∗ , hvorfor der gælder at 〈Ψ| ˆQΨ〉 =
〈 ˆQΨ|Ψ〉. Operatorer der repræsenterer fysiske observable har derfor den fine egenskab at
〈f| ˆQg〉 = 〈 ˆQf|g〉
for alle f(x) og g(x). Sådanne operatorer kaldes for hermitiske.
Lige som stationære tilstande er egentilstande til Hamiltonoperatoren, og dermed har en velbestemt
energi, kan man også finde egentilstande til andre operatorer. Man får da at egentilstanden
har en velbestemt observabel tilhørende operatoren. Egenværdiligningen er
ˆQΨ = qΨ,
hvor Ψ er en egenfunktion til ˆQ og q er den tilhørende egenværdi. Samlingen af alle egenværdier
for en operator kaldes et spektrum. Hvis der er flere egenværdier med samme egenfunktion er
spektrum’et degenereret, eller udartet.
Egenfunktionerne til hermitiske operatorer falder i to kategorier:

14 3 Formalisme
⊲ Hvis spektret af egenværdier er diskret (separerede værdier) er egenfunktionerne i Hilbertrummet
og de repræsenterer fysisk mulige tilstande. Egenværdierne i et diskret spektrum er
reelle, og egenfunktionerne for forskellige egenværdier er indbyrdes orthogonale. Derudover
gælder der også at alle egenfunktionerne for en operator danner et komplet sæt.
⊲ Hvis spektret af egenværdier er kontinuert (værdierne udfylder et område) er egenfunktionerne
ikke normaliserbare, og de repræsenterer ikke hver for sig en fysisk tilstand. Dog
kan man ved at lave lineære kombinationer af dem få en sådan. Her er egenværdierne ikke
nødvendigvis reelle, men hvis man udvælger de egenfunktioner der faktisk har reelle egenværdier
så får man et sæt med en form for orthonormalitet, der kaldes Dirac-orthonomalitet.
Et sådant sæt er komplet, men man skal bruge integraler i stedet for summer når man laver
kombinationer med dem.
3.3 Generaliseret statistisk fortolkning
Hvis man måler en fysisk observabel Q(x,p) af en partikel i tilstanden Ψ(x,t) får man med sikkerhed
en egenværdi for operatoren ˆQ(ˆx, ˆp). Hvis spektrummet for ˆQ er diskret er sandsynligheden
for at få egenværdien q n tilhørende egenfunktionen f n (x) givet ved
|c n | 2 , hvor c n = 〈f n |Ψ〉.
Forventningsværdien for målingen er da givet ved
〈Q〉 = ∑ n
q n |c n | 2 .
Hvis spektret er kontinuert med reelle egenværdier q(z) og tilhørende Dirac-orthonomaliserede
egenfunktioner f z (x) er sandsynligheden for at måle et resultat i området dz givet ved
|c(z)| 2 dz,
hvor c(z) = 〈f z |Ψ〉,
og forventningsværdien for målingen er givet ved
∫
〈Q〉 =
q(z)|c(z)| 2 dz.
3.4 Dirac-notation
Vektorer (funktioner) er repræsenteret som lineære kombinationer af basisvektorerne (basisfunktionerne)
i Hilbertrummet, ved
|α〉 = ∑ n
a n |e n 〉, hvor a n = 〈e n |α〉 og |β〉 = ∑ n
b n |e n 〉,
hvor b n = 〈e n |β〉.
Operatorer, der omformer én vektor til en anden |β〉 = ˆQ|α〉, er repræsenteret med hensyn til
basisvektorerne (basisfunktionerne) ved matrixelementer givet ved
Q mn ≡ 〈e m | ˆQ|e n 〉.

3 Formalisme 15
Sættes disse ting sammen fås at
b m = ∑ n
Q nm a n ,
så matrixelementerne i operatoren fortæller hvordan komponenterne af vektorerne transformeres.
Hvis tilstanden beskrives i et N-dimensionalt vektorrum kan den repræsenteres som en søjlevektor
med N komponenter, og operatorer kan beskrives som N × N-matricer b .
Sætning 3.2 (Bra- og ket-notationen) Dirac indførte at man delte indre produkt-notationen
op i bra, 〈α|, og ket, |β〉. Ket’en er en vektor mens bra’en er en operator der instruerer om at
integrere
∫
〈f| = f ∗ [· · · ]dx,
hvor [· · · ] står for det som bra’en virker ind på. I et endeligt dimensionelt vektorrum et ket’en
en søjlevektor
⎛ ⎞
a 1
a 2
|α〉 =
⎜ . ⎟
⎝
⎠ ,
a n
som kan omskrives til den tilsvarende bra ved at transponere den til en rækkevektor og komplekst
konjugere, altså
〈α| = ( )
a ∗ 1 a ∗ 2 · · · a ∗ n . ◭
b For et eksempel på et to-dimensionalt system, se eksempel 3.8 på siderne 132-134.

16 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
4 Kvantemekanik i tre dimensioner
I tre dimensioner bliver impulsoperatoren givet ved
p = i ∇,
hvorfor Schrödingerligningen bliver givet ved
i ∂Ψ
∂t = − 2
2m ∇2 Ψ + V Ψ,
hvor ∇ 2 er Laplaceoperatoren. Bølgefunktionen og potentialet er nu generelt funktioner af tiden
og stedvektoren r = (x,y,z), og sandsynligheden for at finde partiklen i et infinitesimalt volumen
d 3 r = dxdydz er |Ψ(r,t)| 2 d 3 r. Normalisation af bølgefunktionen kræver nu at
∫
|Ψ(r,t)| 2 d 3 r = 1.
Sætning 4.1 (Kanoniske kommutationsrelationer) De kanoniske kommutationsrelationer
er sammenhængen mellem hvordan de forskellige positioner og impulser kommuterer (og
hvor de fejler). Der gælder at
[r i ,p j ] = −[p j ,r i ] = iδ ij , og [r i ,r j ] = −[p i ,p j ] = 0,
hvor indeksene står for x, y og z og r x = x, r y = y samt r z = z.
◭
Hvis der er tale om et tids-uafhængigt potentiale kan vi, som vi gjorde i én dimension, bruge
separation af de variable, hvorved man får at
Ψ n (r,t) = ψ n (r)e −iEnt/ ,
hvor den stedslige bølgefunktion ψ n (r) skal opfylde den tids-uafhængige Schrödingerligning
− 2
2m ∇2 ψ + V ψ = Eψ.
Igen er den generelle løsning til den tidsafhængige Schrödingerligning givet ved en lineær kombination
af de separerede løsninger til den tidsuafhængige ligning
Ψ(r,t) = ∑ n
c n ψ n (r)e −iEnt/ ,
hvor konstanterne c n bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne Ψ(r,0).
4.1 Løsning af Schrödingerligningen i sfæriske koordinater
Hvis der videre er tale om en potentiale der kun er afstandsafhængigt er det specielt nemt at
udregne en løsning, da man her kan bruge sfæriske koordinater. Først opdeler man løsningen
som sædvanligt i den stedslige og den tidslige del, Ψ(R,t) = ψ(r)e −iEnt/ , og man arbejder så

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 17
videre med den stedslige, som opdeles ved ψ(r,θ,φ) = R(r)Y (θ,φ). Dette giver en angulær og en
radial ligning,
1
Y
[ 1
sin θ
1 d
R dr
∂
∂θ
(
sinθ ∂Y
∂θ
(
r 2 dR
dr
)
+ 1
∂ 2 ]
Y
∂φ 2 = −l(l + 1),
sin 2 θ
)
− 2mr2
2 [V (r) − E] = l(l + 1),
hvor l(l + 1) er en konstant der har denne form ved lidt bagklogskab.
Den angulære ligning løses ved endnu en omgang separation af de variable, Y (θ,φ) =
Θ(θ)Φ(φ), der giver de to ligninger
1 d 2 Φ
Φ dφ 2 = m2 ,
[
1
sin θ d (
sinθ dΘ )]
+ l(l + 1)sin 2 θ = m 2 ,
Θ dθ dθ
hvor konstanten m er et heltal, hvilket følger af den første, der har løsningen Φ(φ) = e imφ .
Ligningen for θ har løsningen Θ(θ) = APl m (cos θ), hvor Pl
m er den tilhørende Legende funktion
defineret ved
( ) |m| d
Pl m (x) ≡ (1 − x 2 ) |m|/2 P l (x),
dx
hvor P l er det l’te Legendre polynomie defineret ved
Normaliseret er den angulære ligning givet ved
Yl
m (θ,φ) = ǫ
hvor ǫ = (−1) m for m ≥ 0 og ǫ = 1 for m ≤ 0.
P l (x) ≡ 1 ( ) l d
2 l (x 2 − 1) l .
l! dx
√
(2l + 1) (l − |m|)!
4π (l + |m|)! eimφ Pl m (cos θ),
Sætning 4.2 (Kvantetallene l og m) Ud fra ovenstående fås at l skal være et ikke-negativt
heltal, og der skal gælde at |m| > l. Så for hvilket som helst givet l er der 2l + 1 muligheder for
m, og der gælder altså at
l = 0,1,2, · · · ;
m = −l, −l + 1, · · · , −1,0,1, · · · ,l − 1,l.
Vi kalder l for det azimuthale kvantetal og m for det magnetiske kvantetal.
◭
Den radiale ligning er afhængig af potentialet, og kan derfor ikke løses generelt. Man opstiller i
stedet for en forsimplet udgave af ligningen ved at indføre et skift i variable ved u(r) = rR(r) så
ligningen bliver
− 2 d 2 [
]
u
2m dr 2 + V + 2 l(l + 1)
2m r 2 u = Eu,

18 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
der kaldes for den radiale ligning. Denne ligning er magen til den en-dimensionale Schrödingerligning
med det effektive potentiale
V eff = V + 2 l(l + 1)
2m r 2 ,
der indeholder termet ( 2 /2m)[l(l+1)/r 2 ], der kaldes for det centrifugale term. Normalisationskravet
kan nu oversættes til
∫ ∞
0
|u| 2 dr = 1.
Eksempel (Den uendelige sfæriske brønd) Det uendelige sfæriske potentiale er defineret ved
{
0, hvis r < a,
V (r) =
∞, hvis r > a.
For l = 0 er energierne givet ved E nl som
E n0 = n2 π 2 2
2ma 2
der tilhører bølgefunktionen benævnt med ψ nlm ved
ψ n00 (r,θ,φ) = √ 1 1
( nπr
)
2πa r sin .
a
For et generelt heltalligt l er løsningen givet ved R(r) = Aj l (kr), hvor j l er den sfæriske
Besselfunktion af orden l, defineret ved
( ) l 1
j l (x) ≡ (−x) l d sin x
x dx x ,
der med randbetingelsen R(a) = 0 vælger k så j l (ka) = 0, og dermed k = a −1 β nl , hvor β nl er det
n’te nulskæringspunkt for den l’te Besselfunktion. Løsningen er da generelt givet ved
( )
βnl r
ψ nlm (r,θ,φ) = A nl j l Yl
m (θ,φ),
a
hvor konstanten A nl bestemmes ved normalisation. Energierne bliver
E nl =
2
2ma 2 β2 nl.
Hver af disse energitilstande er 2l + 1 gange degenererede, da der er netop dette antal forskellige
m for hvert l.
◭
4.2 Hydrogenatomet
Hydrogenatomet kan tilnærmes med en proton (en positiv ladning) i midten og en elektron (en
negativ ladning) i en bane rundt omkring denne. Coulombs lov giver at potentialet må være
V (r) = − e2
4πǫ 0
1
r .

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 19
Her findes det efter mange lange regninger at den generelle bølgefunktion må være givet ved
udtrykket
√ ( ) 3 ( ) l ( )
2 (n − l − 1)! 2r 2r
ψ nlm (r,θ,φ) =
na 2n[(n + l)!] 3 e−r/na L 2l+1
n−l−1
Yl
m (θ,φ),
na na
hvor L p q−p er et associeret Laguerre polynomie med det q’te Laguerre polynomie L q :
( ) p ( ) q
L p d
d
q−p(x) ≡ (−1) p L q (x), L q (x) ≡ e x (
e −x x q) .
dx
dx
Energierne er givet ved
[ ( )
m e
2 2
]
1
E n = −
2 2 4πǫ 0 n 2 = E 1
, hvor n ∈ N.
n2 Bindingsenergien for hydrogen (energien af den laveste tilstand) er da givet ved E 1 = 13.6eV. Et
sideresultat under udregningerne var Borh radiusen a, der er givet ved
a ≡ 4πǫ 0 2
me 2 = 0.529 × 10 −10 m.
Sætning 4.3 (Hydrogens spektrum) Hvis putter hydrogenatomet i en eller anden tilstand
Ψ nlm , så burde det blive der for evigt. Men hvis man “kilder” atomet lidt kommer der energi
til systemet, og det kan undergå en transition til en anden tilstand – enten ved at absorbere
energi eller afgive det.
I praksis sker sådan nogle pertubationer hele tiden, hvilket betyder at hydrogen altid afgiver
lys af bestemte bølgelængder, givet ved afstanden mellem energien i den bane elektronen var i,
og den bane den kom til. Ud fra dette fås Rydbergs formel
(
1
λ = R 1
n 2 f
− 1 n 2 i
)
,
hvor R er Rydbergs konstant defineret ved
R ≡
m ( ) e
2 2
4πc 3 = 1.097 × 10 7 m −1 .
4πǫ 0
Overgange til n f = 1 er Lymann serierne (i det ultraviolette område), overgange til n f = 2
er Balmer serierne (i det synlige område) og overgange til n f = 3 er Paschen serierne (i
det infrarøde område).
◭
4.3 Bevægelsesmængdemoment
Vi definerer bevægelsesmængdemomentet efter den klassiske notation ved
L x = yp z − zp y , L y = zp x − xp z , L z = xp y − yp x

20 4 Kvantemekanik i tre dimensioner
hvor p i er de kendte impulsoperatorer for de tre dimensioner (p x = −i∂/∂x osv.). Der gælder at
disse tre ikke kommuterer med hinanden, og faktisk gælder der de fundamentale kommutatorrelationer
for bevægelsesmængdemomentet,
[L x ,L y ] = iL z , [L z ,L z ] = iL x , [L z ,L x ] = iL y .
Kvadratet af længden af bevægelsesmængdemomentet kommuterer dog med de enkelte koordinater,
der gælder altså at
L 2 ≡ L 2 x + L 2 y + L 2 z ⇒ [L 2 ,L x ] = 0, [L 2 ,L y ] = 0, [L 2 ,L z ] = 0,
eller mere kompakt [L 2 ,L] = 0. Så vi kan håbe at finde egenfunktioner til til L 2 som også er
egenfunktioner til f.eks. L z , L 2 f = λf og L z f = µf. Vi definerer en hæve- og sænkeoperatoren
for L z ved
L ± ≡ L x ± iL y .
For denne gælder der at [L z ,L ± ] = ±L ± og [L 2 ,L ± ] = 0. L ± f er en egenfunktion til L 2 med
samme egenværdi λ,
L 2 (L ± f) = λ(L ± f),
mens L ± f er en egenfunktion til L z med den nye egenværdi µ ± ,
L z (L ± f) = (µ ± )(L ± f).
Så L − sænker altså egenværdien med , mens L + hæver den med .
Eftersom der skal være en største og mindste egenfunktion findes det at egenværdierne til L z
er m, hvor m går fra −l til +l i N heltallige trin. Der skal gælde at l = N/2, så l er enten et
heltal eller et heltal divideret med to. Egenfunktionerne er karakteriserede ved
L 2 f m l = 2 l(l + 1)f m l , L z f m l = mf m l ,
hvor
l = 0,1/2,1,3/2, · · · ;
m = −l, −l + 1, · · · ,l − 1,l.
Se eventuelt side 177 for en illustration af dette resultat som en kugle.
4.4 Spin
Spin er klassisk rotation omkring centrum af sig selv. Der gælder for spin de fundamentale
kommutationsrelationer
[S x ,S y ] = iS z , [S y ,S z ] = iS x , [S z ,S x ] = iS y .
Ved definitionen S 2 ≡ S 2 x + S 2 y + S 2 z fås at egenvektorerne til S 2 og S z opfylder
S 2 |sm〉 = 2 s(s + 1)|sm〉,
S z |sm〉 = m|sm〉,

4 Kvantemekanik i tre dimensioner 21
og med hæve- sænkeoperatoren defineret som S ± ≡ S x ± iS y fås at
S ± |sm〉 = √ s(s + 1) − m(m ± 1) |s(m ± 1)〉.
Her skal der gælde at
s = 0,1/2,1,3/2, · · · ;
m = −s, −s + 1, · · · ,s − 1,s,
hvor s kaldes for spinnet. Det viser sig at alle elementære partikler har et specielt og helt fast
værdi for s.
Sætning 4.4 (Spin 1/2 system) Partikler der opbygger normalt stof har spin s = 1/2, dette
er blandt andet elektroner, protoner og neutroner. For disse er der kun to egentilstande, nemlig
|1/2 1/2〉 der kaldes for spin op (↑), og |1/2 (−1/2)〉 der kaldes for spin ned (↓). Den generelle
tilstand for en spin 1/2-partikel beskrives ved en spinor, der er en lineær kombination af de to
baser:
( ) a
χ = = aχ + + bχ − ,
b
hvor χ + er spin-op tilstanden og χ − er spin-ned tilstanden, givet ved
( 1
χ + =
0
) ( 0
, χ − =
1
)
.
Spin-operatorerne er givet ved 2 × 2 matricer, der er givet ved
( ) ( ) (
S 2 = 3 1 0
0 1
0 0
4 2 , S + = , S − =
0 1
0 0
1 0
)
,
og
S x = 2 σ x = 2
(
0 1
1 0
)
, S y = 2 σ y = 2
(
0 −i
i 0
)
, S z = 2 σ z = 2
(
1 0
0 −1
)
,
hvor σ x , σ y og σ z er Pauli spin matricerne. Bemærk at S 2 , S x , S y og S z er hermitiske, de
repræsenterer noget målbart, mens dette ikke gælder for S + og S − .
Egenvektorerne for de forskellige matricer med tilhørende egenværdier er som følger
( 1
S z : χ + =
0
)
, egenværdi + 2 , χ − =
( 0
1
)
, egenværdi − 2
S x :
( √2 1 )
χ (x)
+ = , egenværdi + ( √2 1
√1
2 , χ(x) − =
),
2
− √ 1 egenværdi − 2
2
Så man kan opskrive den normale spinor ved hjælp af egentilstandene for S x ved følgende
( ) ( )
a + b
χ = √ χ (x) a − b
+ + √ χ (x)
− ,
2 2
så sandsynligheden for ved måling af S x at få værdien +/2 er (1/2)|a + b| 2 og for at få −/2
er (1/2)|a − b| 2 . Sandsynligheden for ved måling af S z at få værdien +/2 er lig med |a| 2 og
for at få −/2 er den |b| 2 .
◭

22 5 Identiske partikler
Bemærk at der for spin-1/2 systemer altid gælder at
〈S 2 x〉 = 〈S 2 y〉 = 〈S 2 z〉 = 2
4 .
5 Identiske partikler
Hvis vi har et system med to partikler i stedet for kun en enkelt vil vores bølgefunktion være givet
som Ψ(r 1 ,r 2 ,t), og Hamiltonoperatoren vil være givet ved
H = − 2
∇ 2 1 −
2
∇ 2 2 + V (r 1 ,r 2 ,t).
2m 1 2m 2
Sandsynligheden for at finde partikel 1 i volumenet d 3 r 1 og partikel 2 i volumenet d 3 r 2 er givet
ved |Ψ(r 1 ,r 2 ,t)|d 3 r 1 d 3 r 2 , og normalisationskravet bliver da
∫
|Ψ(r 1 ,r 2 ,t)|d 3 r 1 d 3 r 2 = 1.
For tids-uafhængige potentialer kan igen bruges separation af de variable, og man får en bølgefunktion
Ψ(r 1 ,r 2 ,t) = ψ(r 1 ,r 2 ,t)e −iEt/ , hvor den stedslige bølgefunktion ψ opfylder den tids-uafhængige
Schrödingerligning
− 2
∇ 2
2m
1ψ −
2
∇ 2
1 2m
2ψ + V (r 1 ,r 2 ,t)ψ = Eψ.
2
Sætning 5.1 (Bosoner og fermioner) Hvis den ene partikel er i tilstanden ψ a (r 1 ) og den anden
er i tilstanden ψ b (r 2 ) er den samlede bølgefunktion det simple produkt ψ(r 1 ,r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ).
Dette kræver dog at vi kan kendte de to partikler fra hinanden. I kvantemekanikken kan ikke
kende de to partikler fra hinanden, hvorfor vi bliver nødt til at se på den samlede bølgefunktion
som
ψ ± (r 1 ,r 2 ) = A[ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) ± ψ b (r 1 )ψ a (r 2 )].
Der er altså to forskellige identiske partikler, der kaldes for bosoner (hvor man bruger plus)
og fermioner (hvor man bruger minus). Der gælder at
{
alle partikler med heltalligt spin er bosoner
alle partikler med halvtalligt spin er fermioner .
Der følger at to identiske fermioner ikke kan være i samme tilstand, for så bliver bølgefunktionen
ψ − (r 1 ,r 2 ) = 0, og den kan ikke normaliseres. Dette er Pauli’s princip.
Det viser sig at der kan findes to løsninger til Schrödingers ligning, de skal være enten
symmetriske eller antisymmetriske ved ombytning af det to partikler. Der skal altså gælde at
ψ(r 1 ,r 2 ) = ±ψ(r 2 ,r 1 ).
Hvis et system starter i en sådan tilstand bliver den i den for evigt. Identiske partikler skal
overholde denne symmetrisationslov, med plus for bosoner og minus for fermioner. ◭

B Vigtige integraler 23
Appendikser
A
Regneregler
A.1 Kommutatorer
En kommutator er defineret for to generelle operatorer som et udtryk for hvor meget de fejler i at
kommutere. Udtrykket for dette er
[Â, ˆB] = Â ˆB − ˆBÂ.
Der gælder følgende identiteter for kommutatorer, hvor Â, ˆB og Ĉ er operatorer og a og b er
konstanter:
A.2 Hermitiske operatorer
[Â, ˆB] = −[ ˆB,Â],
[Â,a] = 0,
[a + b ˆB,Ĉ] = a[Â,Ĉ] + b[ ˆB,Ĉ],
[Â ˆB,Ĉ] = Â[ ˆB,Ĉ] + [Â,Ĉ] ˆB,
[Â, ˆBĈ] = ˆB[Â,Ĉ] + [Â, ˆB]Ĉ.
En operator er hermitisk hvis der gælder at 〈f| ˆQg〉 = 〈 ˆQf|g〉. Der gælder følgende regler (fundet
i opgave 3.4)
ˆP, ˆQ hermitiske ⇒ ( ˆP ± ˆQ) hermitisk.
ˆQ hermitisk ⇒ α ˆQ hermitisk, hvis α ∈ R.
ˆP, ˆQ hermitiske ⇒ ˆP ˆQ hermitisk, hvis [ ˆP, ˆQ] = 0.
Derudover gælder der at ( ˆP ˆQ) † = ˆQ † ˆP † og at (a ˆQ+b ˆP) † = a ∗ ˆQ† +b ∗ ˆP † hvor a og b er konstanter.
B
Vigtige integraler
Her kommer en liste over de integraler vi brugte flest gange til regneøvelserne, og som derfor
sagtens kan dukke op til eksamen. Jeg skriver forklaringer ved dem alle, for at de også kan bruges
i en eksamenssituation.
∫ a ( xsin 2 nπ
)
0 a x dx = a2
(Opgave 2.5)
4
∫ a ( π
) ( 2π
xsin
0 a x sin
)dx
a x = − 8a2
9π 2 (Opgave 2.5)
∫ +∞
√ π
e −λu2 du =
(Schaum’s 18.72, lige funktion)
λ
−∞
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
ue −λu2 du = 0
u 2 e −λu2 du = 1 √ π
2λ λ = 1 √
√ 1 π π =
2λ 3/2 2 λ 3
(Ulige funktion)
(Schaum’s 18.77, lige funktion)

24 D Fourierserier og Fouriertransformationer
∫ +∞
−∞
u m e −λu2 du =
Γ[(m + 1)/2]
λ (m+1)/2 (Schaum’s 18.77)
Den sidste har brug for lidt forsimpling når man går fra det generelle m til et givet. Der gælder
for gammafunktionen at
(
Γ m + 1 )
1 · 2 · 3 · · · (2m − 1) √
= π,
2 2m
(
Γ −m + 1 )
(−1) m 2 m √
=
π,
2 1 · 2 · 3 · · · (2m − 1)
og der gælder at Γ(n + 1) = nΓ(n) for n ∈ N. Man kan finde en tabel over gammafunktionens
værdier på side 245 i Schaum’s, men de to vigtigste værdier er
Γ(1) = Γ(2) = 1.
C
Vigtige matematiske formler
Her vil jeg opliste matematiske sammenhænge som vi har brugt under regneøvelserne. Først bliver
det Eulers formler:
e ix = cos x + isin x, e −ix = cos x − isin x,
cos x = eix + e −ix
2
, sin x = eix − e −ix
.
2i
Hvis man har et udtryk Ae ikx + Be −ikx og vil omskrive det til udtrykket C cos kx + D sinkx eller
omvendt, gælder der at (opgave 2.18)
A = C 2 + D 2i , B = C 2 − D , C = A + B, D = i(A − B).
2i
For ulige og lige funktioner gælder der at
lige ·lige = lige, lige ·ulige = ulige, ulige ·ulige = lige,
samt at ∫ +a
ulige = 0,
−a
∫ +a
lige = 2
∫ +a
−a 0
lige.
Til sidst vil jeg lige opliste et par funktioner og hvorvidt de er lige eller ulige:
sin kx er ulige, cos kx er lige, e kx2 er lige.
D
Fourierserier og Fouriertransformationer
Normale Fourierserier er på formen af en sum ved
f(x) =
+∞∑
n=−∞
c n e inπx/L , hvor c n = 1
2L
∫ +L/2
−L/2
e −inπx/L f(x)dx,

E Egenskaber vi har fundet i opgaver 25
men hvis k n = nπ/L bliver meget lille (L bliver meget stor) kan man approksimere summen med
et integrale
Så vi har en Fouriertransformation
f(x) = L π
∫ +∞
−∞
+∞∑
n=−∞
≈
∫ +∞
−∞
dn = L π
∫ +∞
−∞
dk.
e ikx c(k)dk, hvor c(k) = 1
2L
∫ +∞
−∞
e −ikx f(x)dx
eller
f(x) = √ 1 ∫ +∞
e ikx c(k)dk, hvor c(k) = 1 ∫ +∞
√ e −ikx f(x)dx.
2π 2π
−∞
−∞
Når vi i kvantemekanikken har diskrete egenenergier kan vi bruge Fourierserierne, og vi opstiller
altså
∞∑
∫ +∞
Ψ(x,0) = c n ψ n (x), hvor c n = ψ ∗ (x)Ψ(x,0)dx,
n=1
−∞
og da er
∞∑
Ψ(x,t) = c n ψ n (x)e −iEnt/
n=1
med samme konstanter c n . Forventningsværdien for Hamiltonoperatoren findes da til at være
∞∑
〈H〉 = |c n | 2 E n .
n=1
E
Egenskaber vi har fundet i opgaver
I opgave 2.1 fandt vi at
⊲ Energien E er altid reel!
⊲ Man kan altid finde en stedslig bølgefunktion φ der er reel. Hvis man finder en der ikke er
det, så kan man skrive den op som en lineær kombination så den bliver det.
⊲ Hvis potentialet V (x) er en lige funktion, så vil den stedslige bølgefunktion ψ(x) altid være
enten lige eller ulige.
I opgave 2.2 fandt vi at
⊲ Energien E skal være større end minimumsværdien for potentialet for alle normaliserbare
løsninger til Schrödingers ligning. Der skal altså gælde at E > V min .
I opgave 3.7 fandt vi at
⊲ Hvis både f og g er egenfunktioner til operatoren ˆQ med samme egenværdi q, så er alle
lineære kombinationer af f og g også egenfunktioner til operatoren ˆQ med egenværdi q.

26 Indeks
Indeks
Afstandsafhænigt potentiale, 16
Angulær ligning, 17
Azimuthalt kvantetal, 17
Balmer serierne, 19
Basisfunktion, 14
Basisvektor, 14
Besselfunktion, 18
Bevægelsesmængdemoment, 19
Borh radius, 19
Boson, 22
Bra, 15
Bunden tilstand, 9
Bølgefunktion, 4
Bølgepakke, 9
Degeneration, 13
Dirac delta funktion, 10
Dirac-notation, 14
Dirac-orthonormalitet, 14
Egentilstand, 13
Egenværdiligning, 13
Endelig brønd, 10
Fermion, 22
Fjederkonstant, 8
Forventningsværdi, 5, 13
Fri partikel, 9
Fundamental kommutatorrelation
Bevægelsesmængdemoment,
20
Spin, 20
Hamiltonoperator, 6
Harmonisk potentiale, 7
Heisenbergs usikkerhedsprincip,
5
Hermitisk operator, 13
Hilbert rum, 12
Hydrogen
Spektrum, 19
Hydrogenatomet, 18
Hæveoperator, 8
Bevægelsesmængdemoment,
20
Spin, 21
Identiske partikler, 22
Impulsoperator, 5
Tre dimensioner, 16
Indre produkt, 13
Kanonisk kommutatorrelation, 8
Tre dimensioner, 16
Ket, 15
Kommutator, 8
Komplekst konjugeret, 15
Komplet sæt, 13
Kvantetal, 17
Azimuthalt, 17
Magnetisk, 17
Laguerre polynomie, 19
Laplaceoperator, 16
Legendre funktion, 17
Legrendre polynomie, 17
Lymann serierne, 19
Magnetisk kvantetal, 17
Matrice, 15
Matrixelement, 14
Normaliseret, 13
Normalisering, 5
Observabel, 13
Operator, 5
Orthogonal, 13
Orthonormalt, 13
Paschen serierne, 19
Pauli spin matricer, 21
Pauli’s princip, 22
Plancks konstant, 4
Potentiale
Afstandsafhængigt, 16
Delta-funktion, 9
Endelig brønd, 10
Fri partikel, 9
Harmonisk oscillator, 7
Hydrogenatom, 18
Uendelig brønd, 6
Uendelig sfærisk brønd, 18
Radial ligning, 17
Reflektionskoefficient, 10
Runnellering, 10
Rydbergs formel, 19
Rydbergs konstant, 19
Sandsynlighed
Diskret, 4
Kontinuert, 4
Sandsynlighedstæthed, 4
Schrödingers ligning, 4
Tids-uafhængig, 6
Tre dimensioner, 16
Sfæriske koordinater, 16
Spektrum, 13
Diskret, 14
Hydrogen, 19
Kontinuert, 14
Spin, 20
Spin 1/2 system, 21
Spinor, 21
Spredningstilstand, 9
Standardafvigelse, 4
Stationære tilstande, 6
Statistisk fortolkning, 14
Søjlevektor, 15
Sænkeoperator, 8
Bevægelsesmængdemoment,
20
Spin, 21
Transmissionskoefficient, 10
Udartethed, 13
Uendelig brønd, 6
Uendelig sfærisk brønd, 18