Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

8.2 Trigonometriske formler
Der gælder et utal af trigonometriske formler, som vi skal bevise i denne og den næste
sektion. Beviserne i denne sektion er hovedsageligt geometriske:
Den første formel er den velkendte idiotformel.
Sætning 4 (Idiotformlen) (FS)
sin
2 2
x + cos x = 1
Bevis
Retningspunktet Px = (cos x,sin x) ligger på enhedscirklen, som jo har ligningen
x
2 2
+ y = 1.
Indsættes retningspunktets koordinater i denne ligning, så fås
cos
2 x + sin
2 x = 1
Følgende sætning tolkes som, at sin og cos er periodiske funktioner.
Sætning 5 (FS)
cos( x + 2π ) = cos x og sin( x + 2π ) = sin x
Bevis
Idet et omløb på enhedscirklen svarer til 2π radianer, så har vinklerne x og
x +2π ens retningspunkter. Derfor får vi
(cos x,sin x) = Px
= Px
+2π = (cos( x + 2π),sin( x + 2π
))
Sætning 6 (FS)
cos( − x) = cosx og sin( − x) = − sin x
7