Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Værre er det, når man selv skal finde ud af, hvilken funktion det er, man skal
optimere:
Eksempel
En rektangulær mark skal have arealet 10000 m 3 og mindst mulig omkreds
(af hensyn til indhegningen). Hvilken form skal marken have, og hvor lang
bliver omkredsen?
y
x
Kalder vi de to sidelænger for x og y, så ses, at
arealet = xy
og
omkredsen= 2x
+ 2y
Her er der desværre to variable, hvilket gør det svært at differentiere, så vi
må eliminere den ene, f.eks. y. Dette gøres ved hjælp af arealbetingelsen:
10000
xy = 10000 ⇔ y =
x
Dette kan vi så indsætte i udtrykket for omkredsen, som vi jo skulle
optimere
f ( x) = 2x + 2y = 2x
+ 2⋅ 10000 = 2x
+ 20000x
x
Dm( f ) = 0 , ∞ , idet det jo er
Her kalder vi omkredsen for f. Det ses, at [ [
umuligt med negative længder.
Nulpunkterne for f ′ findes:
og
c
c
f ′( x) = 2 − 20000x
f ′( x) = 0
−2
2 − 20000x
= 0
x
−2
= 100 ∨ x = −100 .
Vi udelukker tilfældet x = −100 og laver en fortegnslinie for f ′ :
−1
x 0 100
p’ 0 - 0 +
p lok. lok.
58