Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Grafen for f har altså asymptoterne med ligningerne x = 2 og y
= 2x
+ 8.
Monotoniforhold:
For at finde monotoniforholdene skal differentialkvotienten f ′ udregnes:
⎛
2
′
2x
+ 4x⎞
f ′( x)
= ⎜ ⎟ =
⎝ x − 2 ⎠
2 2
( 2x + 4x) ′⋅ ( x −2) − ( 2x + 4x) ⋅( x − 2)
′
=
2
( x − 2)
2
( 4x + 4) ⋅( x − 2) − ( 2x + 4x)
⋅1
= 2 x − 8 x − 8
2
2
( x − 2)
( x − 2)
Herefter findes nulpunkterne for f ′ :
c
c
c
f ′( x) = 0
2
2x
−8x
−8
= 0
2
( x − 2)
2
2x
−8x
− 8 = 0
x
= 2 − 2 2 ∨ x = 2 + 2 2
(Bemærk, at det ikke kunne betale sig at udregne nævneren - den forsvinder
alligevel ved løsning af ligningen.)
Vi laver nu en fortegnslinie for f ′ , hvor vi betragter de to nulpunkter
2 ± 2 2 samt det skumle tal 2 (som jo ikke er i definitionsmængden, og som
i øvrigt giver anledning til en lodret asymptote):
′ − = ⋅ − 2
2 ( 5) − 8
f ( )
⋅ ( − 5)
− 8
5
=
82
> 0
2 49
(( −5) − 2)
Fortegnslinien bliver:
2
2
′ = ⋅ 0 − 8 ⋅ 0
f ( )
− 8
0
= − 2 < 0
2
( 0−
2)
2
2
′ = ⋅ 3 − 8 ⋅ 3
f ( )
− 8
3
= − 14 < 0
2
( 3−2)
2
2
′ = ⋅ 5 − 8 ⋅ 5
f (5)
− 8
2
= > 0
2 9
(5 − 2)
2
54