Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Vi kan endelig nu bevise sætning 34:
Bevis for sætning 34:
Vi nøjes med at bevise, at
f ′( x) > 0 ⇒ f er voksende i x.
idet det tilsvarende udsagn, hvor f er aftagende i x, behandles ganske analogt.
Hvis f ′ x >
O = x − ε, x + ε , hvori f ′ kun
antager positive værdier, idet f ′ er kontinuert. Vi vil vise, at f er voksende i denne
omegn O.
Lad x1, x2
∈ O og antag, at x1 < x2
. Middelværdisætningen viser, at der findes et
tal x 3 , således at x1 < x3 < x2
, og med
f ( x2 ) − f ( x1)
f ′( x3)
=
.
x2 − x1
Men nu er x3 ∈ O , så f ′( x3)
> 0. Endvidere er x2 − x1 > 0, hvilket betyder, at
f ( x ) − f ( x ) = f ′( x ) ⋅( x − x ) >
eller
( ) 0 , så vil der findes en omegn ] [
2 1 3 2 1 0
f ( x ) < f ( x )
1 2
f er altså voksende i omegnen O.
Opgaver
9.1 Bevis den omvendte sætning til sætning 34, dvs:
f er voksende i x ⇒ f ′( x) ≥ 0
og
f er aftagende i x ⇒ f ′( x) ≤ 0
(Vink: Betragt fortegnet for differenskvotienten
f ( x + h) − f ( x)
h
)
9.2 Bemærk, at vi ikke kan erstatte tegnene ≥ og ≤ med > og < i opgave 9.1.
Giv et eksempel på dette.
51