Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Sætning 40 (Middelværdisætningen)
Lad f [ a b]
c [ a b]
: ; → R være en differentiabel funktion. Så findes et tal
∈ ; opfyldende
f ′( c)
=
f ( b) − f ( a)
b−
a
Sætningen udtrykker, at der findes en tangent til grafen for f med samme hældning som
sekanten gennem punkterne ( a, f ( a )) og ( b, f ( b )) .
Bevis:
Lad os indføre hjælpefunktionen g( x) f ( x) l( x)
funktion, som går gennem de to punkter ( , ( ))
= − , hvor l er den limeære
a f a og ( b, f ( b )) . Folk, som kan
deres analytiske geometri, vil vide, at l har forskriften
f ( b) − f ( a) l( x)
= ( x − a ) + f ( a )
b −a
og forskriften for g er derfor
f ( b) − f ( a) g( x) = f ( x)
− ( x − a ) − f ( a )
b − a
Vigtigst er det dog, at
l( a) = f ( a)
og l( b) = f ( b)
.
Fordelen ved denne hjælpefunktion er nu, at den opfylder betingelserne i Rolle's
sætning:
g er differentiabel, idet g = f − l , og både f og den lineære funktion l er
differentiabel.
g( a) = f ( a) − l( a) = f ( a) − f ( a)
= 0
g( b) = f ( b) − l( b) = f ( b) − f ( b)
= 0
Rolle's sætning fortæller da, at der findes et tal c [ a b]
Men vi har
så tallet c må opfylde
eller
g′ ( c) = 0.
g′ ( x) = f ′( x) − l′ ( x) = f ′( x)
−
f ′( c)
−
f ′( c)
=
f ( b) − f ( a)
= 0
b − a
f ( b) − f ( a)
b−
a
∈ ; opfyldende
f ( b) − f ( a)
b − a
50