Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Faktisk kan man se, at funktionen f har værdimængden
Vm( f ) = [ f ( −2); ∞ [ = [ −4
; ∞[
idet f ( x) → ∞ for x → ±∞ .
Grafen for f er skitseret nedenfor:
Eksempel
Funktionen g er givet ved
3 2
g :[ −3; 3]
→ R:
x a 2x + 3x − 12x
+ 2
Hvad er Vm( g ) ?
Idet g klart er kontinuert (g er jo differentiabel), så er Vm( g ) ifølge sætning 37 et
lukket interval, og g har et globalt minimum og et globalt maksimum.
Kandidater til disse minimums- og maksimumspunkter er dels intervalendepunkterne
for definitionsmængden, dels nulpunkter for g ′ . Vi finder disse nulpunkter:
2
g′ ( x) = 6x + 6x
−12
og løsning af en passende andengradsligning viser, at nulpunkterne for g ′ er -2 og 1.
De kritiske punkter er altså -3, -2, 1 og 3. Vi beregner g i alle 4 punkter:
Det ses, at det globale minimum for g er -5, og dette antages i minimumspunktet 1.
Det globale maksimum er 47, antaget i 3.
Værdimængden er derfor det lukkede interval
Vm( g ) = −5;
47
Grafen for g er vist nedenfor:
x -3 -2 1 3
g(x) 11 22 -5 47
[ ]
47