Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Derfor gælder der om de to differenskvotienter
f ( x0 + h) − f ( x0)
≤ 0 for h > 0
h
f ( x0 + h) − f ( x0)
≥ 0 for h < 0
h
I grænsen får vi
f
lim ( x0 + h ) − f ( x0
) ≥ 0
h→ 0+
h
f
lim ( x0 + h ) − f ( x0
) ≤ 0
h→0−
h
Da f er differentiabel, så skal de to grænseværdier være ens, og derfor må den
fælles grænseværdi være 0. Ergo, f ′( x0)
= 0.
Bemærk, at den omvendte sætning ikke gælder. Man kan sagtens have punkter x 0 , hvor
f ′( x0)
= 0, men hvor x 0 ikke er et lokalt ekstremumspunkt. Man taler her om en vandret
vendetangent.
Eksempel
Betragt funktionen f med forskriften
4 2
f ( x) = x − 6x + 8x
+ 20
Vi ønsker at bestemme samtlige lokale ekstremumspunkter for f.
For det første differentierer vi funktionen:
3 2
f ′( x) = 4x − 12x
+ 8
og finder differentialkvotientens nulpunkter - disse er 1 og -2, som man let
overbeviser sig om ved brug af f.eks. p/q-metoden.
Herefter laves en fortegnslinie for f ′:
x
-2 1
f'
-
0 + 0 +
f
Af fortegnsvariationen kan man se, at f har et lokalt minimum i -2 og en
vendetangent i 1.
(Vendetangenter optræder, når f ′ har samme fortegn på begge sider af punktet,
dvs. fortegnsvariationen -0- eller +0+, mens lokale minima kræver
fortegnsvariationen -0+. +0- giver et lokalt maksimum).
46