Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Derfor gælder der om de to differenskvotienter<br />
f ( x0 + h) − f ( x0)<br />
≤ 0 for h > 0<br />
h<br />
f ( x0 + h) − f ( x0)<br />
≥ 0 for h < 0<br />
h<br />
I grænsen får vi<br />
f<br />
lim ( x0 + h ) − f ( x0<br />
) ≥ 0<br />
h→ 0+<br />
h<br />
f<br />
lim ( x0 + h ) − f ( x0<br />
) ≤ 0<br />
h→0−<br />
h<br />
Da f er differentiabel, så skal de to grænseværdier være ens, og derfor må den<br />
fælles grænseværdi være 0. Ergo, f ′( x0)<br />
= 0.<br />
Bemærk, at den omvendte sætning ikke gælder. Man kan sagtens have punkter x 0 , hvor<br />
f ′( x0)<br />
= 0, men hvor x 0 ikke er et lokalt ekstremumspunkt. Man taler her om en vandret<br />
vendetangent.<br />
Eksempel<br />
Betragt funktionen f med forskriften<br />
4 2<br />
f ( x) = x − 6x + 8x<br />
+ 20<br />
Vi ønsker at bestemme samtlige lokale ekstremumspunkter for f.<br />
For det første differentierer vi funktionen:<br />
3 2<br />
f ′( x) = 4x − 12x<br />
+ 8<br />
og finder differentialkvotientens nulpunkter - disse er 1 og -2, som man let<br />
overbeviser sig om ved brug af f.eks. p/q-metoden.<br />
Herefter laves en fortegnslinie for f ′:<br />
x<br />
-2 1<br />
f'<br />
-<br />
0 + 0 +<br />
f<br />
Af fortegnsvariationen kan man se, at f har et lokalt minimum i -2 og en<br />
vendetangent i 1.<br />
(Vendetangenter optræder, når f ′ har samme fortegn på begge sider af punktet,<br />
dvs. fortegnsvariationen -0- eller +0+, mens lokale minima kræver<br />
fortegnsvariationen -0+. +0- giver et lokalt maksimum).<br />
46