Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

M
Vi hiver i elastiksnoren
m
a
b
Elastiksnor
Der må være et sted, hvor du har hevet mest opad - det er dit maksimum M; og der
må være et sted, hvor du har hevet mest nedad - det er dit minimum m.
Sætningen er især velegnet til at finde værdimængder - men funktionen skal altså være
kontinuert og have et lukket interval som definitionsmængde.
Hvis funktionen er diskontinuert, ikke er defineret på et lukket interval, har lodrette
asymptoter eller laver andre narrestreger, så går det galt!
En måde at finde lokale ekstremumspunkter på, er ved brug af nedenstående sætning:
Sætning 38
Lad f : A → B være en differentiabel funktion. Så gælder
⇓
f har et lokalt ekstremum i punktet x 0
f ′( x ) =
0 0
Bevis:
Vi viser kun sætningen i det tilfælde, hvor det lokale ekstremum er et lokalt
maksimum.
Vi skal altså vise, at f ′( x0)
= 0. Vi skal derfor vise, at
f
lim ( x0 + h ) − f ( x0
) = 0
h→0
h
Da vi har et lokalt maksimum i x 0 , så får vi at
f ( x + h) ≤ f ( x )
og dermed at
0 0
f ( x + h) − f ( x ) ≤
0 0 0
45