Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Herefter finder vi nulpunkterne for differentialkvotienten:<br />
f ′( x) = 0<br />
c<br />
c<br />
2<br />
3x<br />
− 12x<br />
+ 9 = 0<br />
2<br />
x = − ( − 12) ± ( − 12)<br />
− 4 ⋅ 3 ⋅ 9<br />
= ⎧ 1<br />
⎨<br />
2⋅<br />
3<br />
⎩ 3<br />
Bemærk nu, at f ′ er et polynomium og derfor er kontinuert i hele sin<br />
definitionsmængde, som i dette tilfælde er R . Den eneste måde, f ′ kan skifte<br />
fortegn på, er derfor ved at passere gennem et af de to nulpunkter, som jo er 1 eller<br />
3. (Havde funktionen nogle diskontinuitetspunkter eller lodrette asymptoter, så skulle<br />
vi også tage hensyn til disse i den følgende undersøgelse).<br />
Vi laver nu en tallinie, som viser fortegnsvariationen for f ′ . På denne tallinie<br />
indsætter vi de to nulpunkter:<br />
x<br />
1 3<br />
f'<br />
0 0<br />
f<br />
Pga. kontinuiteten af f ′ må denne funktion have konstant fortegn på hver af<br />
intervallerne ] −∞;1 [ , ] 13 ; [ og ] 3;∞ [ . Vi finder dette fortegn ved at beregne<br />
værdien af f ′ for et enkelt punkt fra hver af de 3 intervaller:<br />
2<br />
f ′( 0)<br />
= 3⋅0 −12⋅ 0 + 9 = 9 > 0<br />
2<br />
f ′( 2)<br />
= 3⋅ 2 −12 ⋅ 2 + 9 = − 3 < 0<br />
2<br />
f ′( 4)<br />
= 3⋅4 −12⋅ 4 + 9 = 9 > 0<br />
Vi kan nu udfylde fortegnene på tallinien, og bruge sætning 6 til at oversætte den<br />
opnåede information til monotoniforholdene for f (symboliseret ved pilene i nederste<br />
række).<br />
x<br />
1 3<br />
f'<br />
+ 0 - 0 +<br />
f<br />
Det ses, at<br />
f er voksende i ] −∞;1 [<br />
41