Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Herefter finder vi nulpunkterne for differentialkvotienten:
f ′( x) = 0
c
c
2
3x
− 12x
+ 9 = 0
2
x = − ( − 12) ± ( − 12)
− 4 ⋅ 3 ⋅ 9
= ⎧ 1
⎨
2⋅
3
⎩ 3
Bemærk nu, at f ′ er et polynomium og derfor er kontinuert i hele sin
definitionsmængde, som i dette tilfælde er R . Den eneste måde, f ′ kan skifte
fortegn på, er derfor ved at passere gennem et af de to nulpunkter, som jo er 1 eller
3. (Havde funktionen nogle diskontinuitetspunkter eller lodrette asymptoter, så skulle
vi også tage hensyn til disse i den følgende undersøgelse).
Vi laver nu en tallinie, som viser fortegnsvariationen for f ′ . På denne tallinie
indsætter vi de to nulpunkter:
x
1 3
f'
0 0
f
Pga. kontinuiteten af f ′ må denne funktion have konstant fortegn på hver af
intervallerne ] −∞;1 [ , ] 13 ; [ og ] 3;∞ [ . Vi finder dette fortegn ved at beregne
værdien af f ′ for et enkelt punkt fra hver af de 3 intervaller:
2
f ′( 0)
= 3⋅0 −12⋅ 0 + 9 = 9 > 0
2
f ′( 2)
= 3⋅ 2 −12 ⋅ 2 + 9 = − 3 < 0
2
f ′( 4)
= 3⋅4 −12⋅ 4 + 9 = 9 > 0
Vi kan nu udfylde fortegnene på tallinien, og bruge sætning 6 til at oversætte den
opnåede information til monotoniforholdene for f (symboliseret ved pilene i nederste
række).
x
1 3
f'
+ 0 - 0 +
f
Det ses, at
f er voksende i ] −∞;1 [
41