Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Endvidere er f hverken voksende eller aftagende i 3 eller i 5.
Monotoni-intervallerne for funktionen f er de intervaller, hvori funktionen er
voksende eller aftagende. Ved aflæsning på grafen ses, at
−∞ , 3
f er voksende i ] [
f er aftagende i ] 3 , 5[
f er voksende i ] 5,
6[
f er aftagende i ] 6 , ∞ [
Bemærk, at det er forkert at sige, at f er voksende i ] −∞ , [ ∪ ] , [
(F.eks. er 2, 5< 55 , , men f ( 2, 5) > f (5, 5)
).
3 5 6 .
Hovedsætningen omkring monotoniforhold er nedenstående sætning, som forbinder
monotoniforhold med differentialkvotientens fortegn. Vi vil vente med at bevise denne
sætning til næste sektion.
Sætning 34
Lad f : A → B være en differentiabel funktion med kontinuert
differentialkvotient, og lad x ∈ A . Så gælder:
f ′( x) > 0 ⇒ f er voksende i x
f ′( x) < 0 ⇒ f er aftagende i x
Eksempel
3 2
Betragt funktionen f med forskriften f ( x) = x − 6x + 9x
+ 2
Denne funktions graf har udseendet:
Vi vil undersøge monotoniforholdene for f vha. differentialregning.
Først differentierer vi funktionen f:
2
f ′( x) = 3x − 12x
+ 9
40