Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>8.</strong>8 Monotoniforhold og ekstrema<br />
Vi skal nu studere funktioners opførsel vha. differentialregning. Det viser sig, at<br />
fortegnsvariationen for differentialkvotienten f ′ til en funktion f fortæller temmeligt meget<br />
om f.<br />
Betragt nedenstående funktionsgraf:<br />
Tangenterne i punkterne x 1 , x 2 og x 3<br />
er indteg<strong>net</strong>, og man ser ved betragtning<br />
af hældningskoefficienterne for<br />
tangenterne, at<br />
f ′( x1)<br />
> 0<br />
f ′( x2)<br />
= 0 og<br />
f ′( x ) <<br />
3 0<br />
Samtidigt ser vi, at grafen for f i punktet<br />
x 1 går opad (eller at funktionen f her<br />
er voksende), at grafen for f 'topper' i<br />
punktet x 2 , og at det igen går nedad i<br />
x 3 .<br />
For at formalisere de observationer, vi <strong>net</strong>op har gjort, så er det nødvendigt at konkretisere,<br />
hvad vi mener med en voksende eller aftagende funktion.<br />
Definition 31<br />
Funktionen f : A → B er voksende, hvis det for alle tal<br />
x1, x2<br />
∈ A gælder, at<br />
x < x ⇒ f ( x ) < f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
Funktionen f : A → B er aftagende, hvis det for alle tal<br />
x1, x2<br />
∈ A gælder, at<br />
x < x ⇒ f ( x ) > f ( x )<br />
1 2 1 2<br />
En funktion, som enten er voksende eller aftagende, kaldes<br />
monoton.<br />
37