Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

8.8 Monotoniforhold og ekstrema
Vi skal nu studere funktioners opførsel vha. differentialregning. Det viser sig, at
fortegnsvariationen for differentialkvotienten f ′ til en funktion f fortæller temmeligt meget
om f.
Betragt nedenstående funktionsgraf:
Tangenterne i punkterne x 1 , x 2 og x 3
er indtegnet, og man ser ved betragtning
af hældningskoefficienterne for
tangenterne, at
f ′( x1)
> 0
f ′( x2)
= 0 og
f ′( x ) <
3 0
Samtidigt ser vi, at grafen for f i punktet
x 1 går opad (eller at funktionen f her
er voksende), at grafen for f 'topper' i
punktet x 2 , og at det igen går nedad i
x 3 .
For at formalisere de observationer, vi netop har gjort, så er det nødvendigt at konkretisere,
hvad vi mener med en voksende eller aftagende funktion.
Definition 31
Funktionen f : A → B er voksende, hvis det for alle tal
x1, x2
∈ A gælder, at
x < x ⇒ f ( x ) < f ( x )
1 2 1 2
Funktionen f : A → B er aftagende, hvis det for alle tal
x1, x2
∈ A gælder, at
x < x ⇒ f ( x ) > f ( x )
1 2 1 2
En funktion, som enten er voksende eller aftagende, kaldes
monoton.
37