Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Eksempel
De omvendte funktioner til de tre funktioner fra eksemplet før er alle velkendte:
−
f 1 : R → R : x a
3 x
−1
[ 0 ∞[ → [ 0 ∞[
] 0 [
g : ; ; : x a x
h − 1
: R → ; ∞ : x a e x
Sætning 30
Lad f : A → B være en bijektion. Da gælder, at de sammensatte
funktioner f
−1 o f og f o f
−1 har forskrifterne
−
f 1 o f : A → A:
x a x
−
f o f 1 : B → B:
y a y
Bevis:
Vi beregner f
til ligningen
−1
o f ( x ) . Ifølge definition 20 er f ( f ( x )) den eneste løsning
0
f ( x) = f ( x0 ) .
Men denne ligning har en løsning, nemlig x 0 , og da f er bijektiv, er dette den eneste
−1
løsning. Ergo, f o f ( x ) = x .
0 0
Opgaver
7.1 Som tidligere påstået er de tre funktioner:
f : R → R:
x a x
3
] [
[ 0 [ [ 0 [
g : ; ∞ → ; ∞ : x a x
h : 0; ∞ → R : x a lnx
Bevis dette, og find deres omvendte funktioner.
7.2 Tegn grafen for en injektiv funktion, som har definitionsmængden [ −1 , 2]
og
værdimængden [ 3, 5]
.
7.3 Bevis, at den lineære funktion
f : R a R:
x a ax + b
er en bijektion, hvis og kun hvis a ≠ 0 .
Tolk dette grafisk.
2
−1
0
36