Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Ved at betragte f.eks. enhedscirklen ses, at Vm( f ) Vm( g) [ ; ]<br />
Vm( h ) = [ 0;<br />
1 ].<br />
= = −11 , og<br />
Ved sammenligning med sekundærmængderne for de tre funktioner ses, at kun<br />
funktionen g er surjektiv.<br />
Særligt fint bliver det, hvis en funktion både er injektiv og surjektiv. En sådan funktion kaldes<br />
bijektiv:<br />
Definition 27<br />
Funktionen f : A → B er bijektiv, hvis og kun hvis f er både<br />
injektiv og surjektiv.<br />
Sætning 28<br />
Funktionen f : A → B er bijektiv, hvis og kun hvis ligningen<br />
f ( x) = b<br />
har <strong>net</strong>op én løsning for alle b ∈ B.<br />
Eksempel<br />
Nedenstående funktioner er alle bijektioner:<br />
f : R → R:<br />
x a x<br />
3<br />
[ 0 [ [ 0 [<br />
] [<br />
g : ; ∞ → ; ∞ : x a x<br />
h : 0; ∞ → R : x a lnx<br />
For bijektive funktioner, og kun for bijektive funktioner, kan vi definere den omvendte<br />
funktion.<br />
2<br />
Definition 29<br />
Lad f : A → B være en bijektiv funktion. Den omvendte<br />
funktion<br />
− 1 :<br />
f B → A<br />
defineres ved at sætte f<br />
ligningen f ( x) = b.<br />
−1 ( b) lig den entydigt bestemte løsning til<br />
35