Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Ved at betragte f.eks. enhedscirklen ses, at Vm( f ) Vm( g) [ ; ]
Vm( h ) = [ 0;
1 ].
= = −11 , og
Ved sammenligning med sekundærmængderne for de tre funktioner ses, at kun
funktionen g er surjektiv.
Særligt fint bliver det, hvis en funktion både er injektiv og surjektiv. En sådan funktion kaldes
bijektiv:
Definition 27
Funktionen f : A → B er bijektiv, hvis og kun hvis f er både
injektiv og surjektiv.
Sætning 28
Funktionen f : A → B er bijektiv, hvis og kun hvis ligningen
f ( x) = b
har netop én løsning for alle b ∈ B.
Eksempel
Nedenstående funktioner er alle bijektioner:
f : R → R:
x a x
3
[ 0 [ [ 0 [
] [
g : ; ∞ → ; ∞ : x a x
h : 0; ∞ → R : x a lnx
For bijektive funktioner, og kun for bijektive funktioner, kan vi definere den omvendte
funktion.
2
Definition 29
Lad f : A → B være en bijektiv funktion. Den omvendte
funktion
− 1 :
f B → A
defineres ved at sætte f
ligningen f ( x) = b.
−1 ( b) lig den entydigt bestemte løsning til
35