Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Definition 24
Værdimængden Vm( f ) for funktionen f : A → B er mængden
{ }
Vm( f ) = f ( x)
x ∈ A
Værdimængden, som altså er en delmængde af sekundærmængden B, er mængden af alle
funktionsværdier for f.
Eksempel
Betragt funktionen
f : R → R:
x a x
2
Denne funktion har værdimængden Vm( f ) = [ ; ∞[
er funktionsværdien af f.eks. b .
0 , idet det ikke-negative tal b
Definition 25
Funktionen f : A → B kaldes surjektiv, hvis
Vm( f ) = B
For en surjektiv funktion er sekundærmængden og værdimængden altså ens!
Sætning 26
Funktionen f : A → B er surjektiv, hvis og kun hvis ligningen
f ( x) = b
har mindst en løsning for alle b ∈ B .
Man kan ikke umiddelbart se på grafen for en funktion, om den er surjektiv, idet man jo
ikke kan aflæse funktionens sekundærmængde på grafen. Derfor beviser man surjektivitet
ved at finde værdimængden. Værdimængden kan findes ved hjælp af en såkaldt
funktionsundersøgelse - mere herom senere.
Eksempel
Betragt nedenstående funktioner:
f : R → R: x a sin x
[ ]
[ 0 ] [ 11]
g : R → −11 ; : x a sin x
h : ; π → − ; : x a sin x
34