Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Definition 22
Funktionen f : A → B kaldes injektiv, hvis
f ( x ) = f ( x ) ⇒ x = x
for alle tal x1, x2
∈ A .
1 2 1 2
En anden måde at sige dette på er
Sætning 23
Funktionen f : A → B er injektiv, hvis og kun hvis ligningen
f ( x) = b
højst har en løsning, for alle b ∈ B .
Grafisk giver injektivitet sig udslag i, at den lodrette linie y = b højst skærer grafen for f ét
sted.
I praksis bruger man enten definition 22 direkte eller en undersøgelse af funktionens
monotoniforhold (mere herom senere) til at bevise, at en funktion er injektiv. Vi giver et
eksempel på den direkte anvendelse af definition 22.
Eksempel
f :[ −2; ∞[
→ R:
x a x + 2 + 6 er injektiv. Vi har nemlig:
f ( x ) = f ( x )
c
c
c
c
x
x
x
x
1 2
+ 2 + 6 = x + 2 + 6
1 2
+ 2 = x + 2
1 2
+ 2 = x + 2
1 2
= x
1 2
Surjektivitet er et mere mystisk begreb, som er knyttet sammen med begrebet
værdimængde:
33