Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Sætning 17 (LS)
Lad a ∈[ −11 , ]. Løsningerne til ligningen
sinx = a
er alle af formen
arcsin a + 2πz , z ∈Z
eller af formen
π − arcsin a + 2πz , z ∈Z .
Før beviset kommer et eksempel:
Eksempel
Løsningerne til ligningen
sinx = 1 2
skal findes.
Nu er sin π 6
ligningen er
og
=
1
2
, så arcsin
2 1 = π 6
. Sætningen fortæller nu, at alle løsningerne til
(bemærk, at π π 5
− =
π
6 6 ).
π π π π π π
6 6 6 6 6 6
..., − 4π , − 2π , , + 2π , + 4π , + 6π
,...
5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6
..., −4π , − 2π , , + 2π , + 4π , + 6π
,...
Bevis (for sætning 17):
Vi skal finde alle retningspunkter på enhedscirklen, som har andenkoordinaten a.
Q
Alt i alt er P retningspunktet for vinklerne
arcsin a + 2πz , z ∈Z .
P
y=a
På figuren ses, at der kun er to muligheder,
nemlig punkterne P og Q.
Punktet P er retningspunktet for
arcsin a
men også for
arcsina +2π, arcsina +4π, ....
og for
arcsina −2π, arcsina −4π, ....
21