Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

h
∆(sin) cos( x + )sin
=
h
h
h
2
2 2
h
2
h
2
cos( x ) sin h
= + ⋅
2
Trin 3:
(sin ) lim (sin) lim(cos( ) sin h
∆
x
x
limcos( x ) lim sin
h 2
h
′ = = +
2
⋅ = + ⋅
h→ h h→ h
2
0 0
h→0
h→0
h
Når h → 0 , så vil den første faktor give cosx (idet cos er en kontinuert
funktion), og pr. sætning 14 vil den anden faktor vil give 1. Alt i alt fås
(sin x)
′ = cosx
2
2
h
2
b) Her kunne man igen bruge tretrinsraketten; men det er nu lettere at bruge
kædereglen:
π π π
2 2 2
1
(cos x) ′ = (sin( − x)) ′ = cos( − x) ⋅( − x) ′ = sin x ⋅( − ) = −sin
x
c) Her bruges kvotientreglen:
(tan x )′ =
( sin x
cos ) (sin x) ′ cos x − sin x(cos x)
′
′ =
2
=
x
cos x
cosxcosx − sin x( −sin x)
=
2
cos x
2 2 2 2
cos x + sin x cos x sin x
= + =
2
2 2
cos x cos x cos x
2
1+ tan x
Vi er nu i stand til at differentiere alle mulige funktioner:
Eksempler
(cos( 2x + 3)) ′ = sin( 2x + 3) ⋅ ( 2x + 3) ′ = 2sin( 2x
+ 3)
1
( sin )
sin (sin ) cosx
x ′ = x ′ =
2 x sinx
(ln(tan ))
tan (tan ) tan x
x ′ = 1 x ′ = 1+
2
x
tan x
2 + sin x
( 2 + sin x) ′ ⋅3cos x − ( 2 + sin x) ⋅ ( 3cos x)
′
( )′ =
3cosx
2
=
9cos
x
17