Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

PQ ≤ PS ≤ RS
⇓
sinh ≤ h ≤ tanh
⇓
sinh
sinh ≤ h ≤
cosh
⇓
h 1
1≤
≤
sinh
cosh
⇓
sinh
1≥ ≥ cosh
h
Når nu h går imod 0, så vil størrelsen sinh blive presset inde mellem 1 og
h
cos0 = 1. Grænseværdien er derfor pisket til at være 1.
Tilsvarende kan man nu argumentere, når h er negativ.
(Dette kaldes et sandwich-bevis).
Vi har nu maskineriet til at kunne differentiere sin, cos og tan:
Sætning 15 (FS)
a) (sin x) ′ = cosx
b) (cos x) ′ = − sin x
c) (tan x) ′ = 1+
tan
2
x
Bevis:
a) Tretrinsraketten:
Trin 1:
Trin 2:
∆(sin) =
x + h + x x + h − x
sin( x + h) − sin( x) = 2cos( )sin( ) =
2 2
cos( x +
h)sin
h
2
2 2
16