Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Sætning 12 (dobbeltvinkelformlerne)<br />
a) sin( 2x) = 2sin xcos<br />
x<br />
2 2 2 2<br />
b) cos( 2x) = cos x − sin x = 2cos x − 1= 1−<br />
2sin<br />
x<br />
Bevis:<br />
a) Vi sætter x = y i sætning 11d og får:<br />
sin( 2x) = sin( x + x) = sin xcosx + cos xsinx = 2sinxcosx<br />
b) Vi sætter x = y i sætning 11b og får:<br />
2 2<br />
cos( 2x) = cos( x + x) = cos xcos x − sin xsin x = cos x − sin x<br />
Ved at bruge idiotformlen kan man udlede de andre former af 12b.<br />
De logaritmiske formler hedder sådan, fordi de laver et produkt om til en sum, ligesom<br />
logaritmefunktionen. Oprindelig blev de brugt til komplicerede astronomiske beregninger<br />
(før man opfandt lommeregneren) af bla. Tycho Brahe. De logaritmiske formler gav også<br />
inspiration til skotten John Napier, som opfandt logaritmerne.<br />
Sætning 13 (de logaritmiske formler)<br />
a)<br />
s + t s − t<br />
sins<br />
+ sint<br />
= 2sin cos<br />
2 2<br />
b)<br />
s + t s − t<br />
sins<br />
− sint<br />
= 2cos sin<br />
2 2<br />
c)<br />
s + t s −t<br />
cos s + cost<br />
= 2cos cos<br />
2 2<br />
d)<br />
s + t s −t<br />
cos s − cost<br />
= 2sin sin<br />
2 2<br />
Bevis:<br />
Beviset for a) og b) hænger sammen:<br />
s t<br />
Sæt x = + s t<br />
og y = − 2<br />
2<br />
Så er x + y = s og x − y = t<br />
Anvendes dette i 11c og 11d, så fås<br />
13