Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
⇓<br />
⇓<br />
⇓<br />
2 2 2<br />
x y x y x y x y<br />
P P = OP + OP − 2OP ⋅ OP cos( ∠P OP )<br />
2 2<br />
2 − 2(cosxcos y + sin xsin y) = 1 + 1 − 2⋅1⋅1⋅cos( x − y )<br />
− 2(cosxcos y + sinxsin y) = −2cos( x − y )<br />
cos xcosy + sin xsin y = cos( x − y)<br />
Ialt er der 4 additionsformler:<br />
Sætning 11 (additionsformlerne)<br />
a) cos( x − y) = cosxcos y + sin xsin<br />
y<br />
b) cos( x + y) = cosxcos y − sin xsin<br />
y<br />
c) sin( x − y) = sin xcos y − cosxsin<br />
y<br />
d) sin( x + y) = sin xcos y + cosxsin<br />
y<br />
Bevis:<br />
Formel a) er sætning 10, og de andre formler udledes heraf ved brug af<br />
sætning 5 og 7:<br />
b) cos( x + y) = cos( x − ( − y)) = cosxcos( − y) + sin xsin( − y)<br />
=<br />
cos xcosy − sin xsin<br />
y<br />
π<br />
π<br />
2 2<br />
π<br />
π<br />
2 2<br />
c) sin( x − y) = cos( − ( x − y)) = cos( − x + y)<br />
=<br />
cos( + x)cosy − sin( − x)sin y = sinxcosy −cosx sin y<br />
d) sin( x + y) = sin( x − ( − y)) = sinx cos( − y) − cos x sin( − y)<br />
=<br />
sinxcosy − cos x⋅( − sin y) = sinxcosy + cosx sin y<br />
Et specialtilfælde af additionsformlerne er dobbeltvinkelformlerne. De fås ved at sætte<br />
x = y i additionsformlerne:<br />
12