Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

⇓
⇓
⇓
2 2 2
x y x y x y x y
P P = OP + OP − 2OP ⋅ OP cos( ∠P OP )
2 2
2 − 2(cosxcos y + sin xsin y) = 1 + 1 − 2⋅1⋅1⋅cos( x − y )
− 2(cosxcos y + sinxsin y) = −2cos( x − y )
cos xcosy + sin xsin y = cos( x − y)
Ialt er der 4 additionsformler:
Sætning 11 (additionsformlerne)
a) cos( x − y) = cosxcos y + sin xsin
y
b) cos( x + y) = cosxcos y − sin xsin
y
c) sin( x − y) = sin xcos y − cosxsin
y
d) sin( x + y) = sin xcos y + cosxsin
y
Bevis:
Formel a) er sætning 10, og de andre formler udledes heraf ved brug af
sætning 5 og 7:
b) cos( x + y) = cos( x − ( − y)) = cosxcos( − y) + sin xsin( − y)
=
cos xcosy − sin xsin
y
π
π
2 2
π
π
2 2
c) sin( x − y) = cos( − ( x − y)) = cos( − x + y)
=
cos( + x)cosy − sin( − x)sin y = sinxcosy −cosx sin y
d) sin( x + y) = sin( x − ( − y)) = sinx cos( − y) − cos x sin( − y)
=
sinxcosy − cos x⋅( − sin y) = sinxcosy + cosx sin y
Et specialtilfælde af additionsformlerne er dobbeltvinkelformlerne. De fås ved at sætte
x = y i additionsformlerne:
12