Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

8.3 Additionsformlerne og
de logaritmiske formler
Nu skal vi bevise additionsformlerne, dobbeltvinkelformlerne og de logaritmiske formler. Vi
starter med det eneste tekniske bevis:
Sætning 10
cos( x − y) = cosx⋅ cosy + sin x⋅
sin y
Bevis:
P
x
P y
På figuren til højre er afmærket punkterne
O = ( 0, 0 )
Px = (cos x,sin x)
P y
= (cosy,sin
y)
O
Vi vil anvende cosinus-relationen på trekanten ∆OP x
P y
, og derfor har vi brug for
at kende nogle vinkler og sidelængder:
∠ Px OPy = x − y ifølge tegningen.
OP
x
= OP = 1, idet de to liniestykker er radier i enhedscirklen.
y
2 2
Px Py = (cos x − cos y) + (sin x − sin y)
pr. afstandsformlen.
Vi regner lidt videre:
P P = (cosx − cos y) + (sinx − sin y)
=
x
2 2 2
y
2 2 2 2
cos x + cos y − 2cosxcos y + sin x + sin y − 2sin xsin
y =
2 − 2(cosxcosy + sin xsin y )
Her brugte vi idiotformlen to gange for at få det første 2-tal.
Cosinus-relationen i trekant ∆OP x P y hedder:
11