Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>8.</strong>3 Additionsformlerne og<br />
de logaritmiske formler<br />
Nu skal vi bevise additionsformlerne, dobbeltvinkelformlerne og de logaritmiske formler. Vi<br />
starter med det eneste tekniske bevis:<br />
Sætning 10<br />
cos( x − y) = cosx⋅ cosy + sin x⋅<br />
sin y<br />
Bevis:<br />
P<br />
x<br />
P y<br />
På figuren til højre er afmærket punkterne<br />
O = ( 0, 0 )<br />
Px = (cos x,sin x)<br />
P y<br />
= (cosy,sin<br />
y)<br />
O<br />
Vi vil anvende cosinus-relationen på trekanten ∆OP x<br />
P y<br />
, og derfor har vi brug for<br />
at kende nogle vinkler og sidelængder:<br />
∠ Px OPy = x − y ifølge tegningen.<br />
OP<br />
x<br />
= OP = 1, idet de to liniestykker er radier i enhedscirklen.<br />
y<br />
2 2<br />
Px Py = (cos x − cos y) + (sin x − sin y)<br />
pr. afstandsformlen.<br />
Vi regner lidt videre:<br />
P P = (cosx − cos y) + (sinx − sin y)<br />
=<br />
x<br />
2 2 2<br />
y<br />
2 2 2 2<br />
cos x + cos y − 2cosxcos y + sin x + sin y − 2sin xsin<br />
y =<br />
2 − 2(cosxcosy + sin xsin y )<br />
Her brugte vi idiotformlen to gange for at få det første 2-tal.<br />
Cosinus-relationen i trekant ∆OP x P y hedder:<br />
11