Hvad er matematik? C, i-bog Claudius Ptolemaios ... - Gymportalen
Hvad er matematik? C, i-bog Claudius Ptolemaios ... - Gymportalen
Hvad er matematik? C, i-bog Claudius Ptolemaios ... - Gymportalen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
<strong>Claudius</strong> <strong>Ptolemaios</strong> levede i Alexandria omkring 150 e.v.t.,<br />
og han var en meget betydningsfuld astronom, geograf og<br />
<strong>matematik</strong><strong>er</strong>. Hans mest<strong>er</strong>værk ”Almagest” <strong>er</strong> en<br />
omfattende afhandling om alle aspekt<strong>er</strong> af matematisk<br />
astronomi bl.a. en model for planet<strong>er</strong>nes bevægelse.<br />
”Almagest” viste sig at blive et særdeles vigtigt værk, som<br />
astronom<strong>er</strong> anvendte m<strong>er</strong>e end 1500 år eft<strong>er</strong>, <strong>Ptolemaios</strong><br />
skrev det. Værket <strong>er</strong> blevet ov<strong>er</strong>sat fl<strong>er</strong>e gange og i<br />
slutningen af dette dokument, kan du se tre forskellige<br />
udgav<strong>er</strong> af ”Almagest”.<br />
Til højre ses et træsnit, som illustration på en side i en<br />
udgave af ”Almagest” fra 1496.<br />
Et af hovedproblem<strong>er</strong>ne i astronomien i oldtiden var<br />
b<strong>er</strong>egning af planetban<strong>er</strong>. Problemet var, at man ikke kunne<br />
finde en model, d<strong>er</strong> rent faktisk passede sammen med de<br />
astronomiske obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong> måling<strong>er</strong> man lavede. I dag ved<br />
vi, at en af de ting, d<strong>er</strong> især voldte astronom<strong>er</strong>ne store<br />
kval<strong>er</strong>, var planet<strong>er</strong>nes retrograde bevægelse, dvs. den<br />
obs<strong>er</strong>vation at planet<strong>er</strong>ne somme tid<strong>er</strong> så ud til at bevæge<br />
sig baglæns!<br />
Ifølge <strong>Ptolemaios</strong> bevægede Solen og alle planet<strong>er</strong>ne (i rækkefølgen Månen, M<strong>er</strong>kur, Venus, Solen, Mars,<br />
Jupit<strong>er</strong> og Saturn) sig i jævne cirkelbevægels<strong>er</strong> rundt om Jorden, som stod stille i univ<strong>er</strong>sets centrum<br />
(<strong>Ptolemaios</strong>’ v<strong>er</strong>densbillede var altså geocentrisk). <strong>Ptolemaios</strong>´ antagels<strong>er</strong> <strong>er</strong>, at planet<strong>er</strong>ne bevæg<strong>er</strong> sig i<br />
jævne cirkelbevægels<strong>er</strong> rundt om Solen (i ekliptikas plan), som også selv bevæg<strong>er</strong> sig i en jævn<br />
cirkelbevægelse rundt om Jorden.<br />
Men cirkelbevægels<strong>er</strong>ne rundt om Jorden passede dårligt med de astronomiske måling<strong>er</strong>, så d<strong>er</strong>for lod<br />
<strong>Ptolemaios</strong> planet<strong>er</strong>ne bevæge sig på en lille cirkel, d<strong>er</strong> kaldes en epicykel. Den lille cirkels centrum C lod<br />
<strong>Ptolemaios</strong> så udføre en jævn cirkelbevægelse rundt om Jorden. D<strong>er</strong>med havde han fundet en model, d<strong>er</strong><br />
rent faktisk kunne forklare de retrograde bevægels<strong>er</strong>!<br />
En forenklet model af <strong>Ptolemaios</strong>’<br />
palnet model ses til venstre.<br />
Til højre ses <strong>Ptolemaios</strong> model for<br />
Mars’ bane rundt om jorden.<br />
Bemærk, at jorden <strong>er</strong> forskudt lidt<br />
væk fra def<strong>er</strong>entens centrum, for at<br />
få modellen til at stemme ov<strong>er</strong>ens<br />
med de astronomiske<br />
obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong>.<br />
Figuren nedenfor vis<strong>er</strong> fx Mars’ bane obs<strong>er</strong>v<strong>er</strong>et ov<strong>er</strong> en p<strong>er</strong>iode på ca. 2 år fra februar 1708 til novemb<strong>er</strong><br />
1709. H<strong>er</strong> ses Mars’ retrograde bevægelse, som fandt sted i p<strong>er</strong>ioden novemb<strong>er</strong> til februar.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
1
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Nedenfor ses en plan gengivelse af Mars’ bane beskrevet ovenfor. <strong>Ptolemaios</strong> beskrev faktisk Mars’ bane,<br />
som en komplic<strong>er</strong>et epicykel-lignende kurve, som stemte ov<strong>er</strong>ens med de astronomiske obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong><br />
(med den nøjagtighed, man kunne opnå på hans tid).<br />
Epicykelteorien vandt stor tilslutning bl.a. fordi den kunne bruges til at forudsige planetposition<strong>er</strong> med god<br />
nøjagtighed i forhold til de astronomiske obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong>.<br />
Det kan virke naivt, når <strong>Ptolemaios</strong> sådan bare postul<strong>er</strong><strong>er</strong>, at Jorden <strong>er</strong> i univ<strong>er</strong>sets centrum, og at alle<br />
planet<strong>er</strong>ne bevæg<strong>er</strong> sig i jævne cirkelbevægels<strong>er</strong>. Men han brug<strong>er</strong> stort set den samme metode som<br />
videnskabsmænd brug<strong>er</strong> den dag i dag: Man obs<strong>er</strong>v<strong>er</strong><strong>er</strong>, hvad d<strong>er</strong> foregår i naturen, og ud fra disse<br />
obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong> prøv<strong>er</strong> man at opstille en model, d<strong>er</strong> kan forklare og forudsige naturens opførsel (fx<br />
planet<strong>er</strong>nes bevægelse) med tilfredsstillende nøjagtighed. Ved at bruge ca. 80 epicykl<strong>er</strong> kunne <strong>Ptolemaios</strong><br />
forklare bevægelsen af Solen, Månen samt de fem planet<strong>er</strong>, og systemet forblev det kosmologiske<br />
grundlag, indtil Kop<strong>er</strong>nikus' heliocentriske system vandt udbredelse i 1600-tallet.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
2
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
I alle kultur<strong>er</strong> har tabell<strong>er</strong> været uundværlige hjælpemidl<strong>er</strong>. Også <strong>Ptolemaios</strong> havde hårdt brug for tabell<strong>er</strong> i<br />
forbindelse med sine astronomiske b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong>. Tabell<strong>er</strong>ne gjorde, at han kunne spare tid og reduc<strong>er</strong>e<br />
fejlkild<strong>er</strong>. Desuden gjorde en tabel det muligt for ham at uddeleg<strong>er</strong>e noget af det tunge b<strong>er</strong>egningsarbejde<br />
til sine assistent<strong>er</strong>. I næsten 2000 år eft<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong> har <strong>matematik</strong><strong>er</strong>e betjent sig af sådanne<br />
trigonometriske tabell<strong>er</strong> til b<strong>er</strong>egning af sid<strong>er</strong> og vinkl<strong>er</strong>. Tabell<strong>er</strong>ne <strong>er</strong> nu lagt ind i de matematiske<br />
værktøjsprogramm<strong>er</strong>.<br />
<strong>Ptolemaios</strong>’ kordetabel – <strong>Hvad</strong> fortæll<strong>er</strong> den?<br />
Da <strong>Ptolemaios</strong> opdagede de sammenhænge mellem sid<strong>er</strong> og vinkl<strong>er</strong>, d<strong>er</strong> blev grundlaget for<br />
trigonometrien, begyndte han at udarbejde de første trigonometriske tabell<strong>er</strong>. Tabell<strong>er</strong>ne blev b<strong>er</strong>egnet i<br />
60 talsystemet (se evt. kapitel 7: Tal og ligning<strong>er</strong>), fordi det var det bedste talsystem på den tid til at regne<br />
med brøk<strong>er</strong>. Nedenfor ses et udsnit af hans såkaldte kordetabel skrevet med græske <strong>bog</strong>stav<strong>er</strong> samt en<br />
transskrib<strong>er</strong>ing til vores tal. Denne tabel <strong>er</strong> forløb<strong>er</strong>en for sen<strong>er</strong>e tid<strong>er</strong>s sinustabell<strong>er</strong>.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
3
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Øvelse 1:<br />
Tabellen kan ov<strong>er</strong>sættes til vores tal ved hjælp af nedenstående ov<strong>er</strong>sigt ov<strong>er</strong> de enkelte <strong>bog</strong>stav<strong>er</strong>s tal-<br />
betydning samt tegnet , som betyd<strong>er</strong> 1<br />
2 . Tegnet fung<strong>er</strong><strong>er</strong> også som en form for vinkelmark<strong>er</strong>ing, hvor<br />
vi i dag skriv<strong>er</strong> .<br />
a) Tjek ved hjælp af tabellen transskrib<strong>er</strong>ingen ovenfor fx ved 3 og 177 .<br />
<strong>Ptolemaios</strong> behandl<strong>er</strong> trigonometrien i Bog 1 kapitel 10 og 11 i ”Almagest”, hvor kapitel 11 kun består af<br />
kordetabellen ovenfor, mens kapitel 10 <strong>er</strong> en forklaring på, hvordan han <strong>er</strong> kommet frem til tabellen.<br />
Vi vil først prøve at forstå tabellens oplysning<strong>er</strong>, og hvordan man brug<strong>er</strong> den, for d<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> i næste afsnit at<br />
gå dyb<strong>er</strong>e ned i, hvordan den <strong>er</strong> fremkommet.<br />
<strong>Ptolemaios</strong> defin<strong>er</strong><strong>er</strong>, som vi så det i kapitel 3: Geometri – Konstruktion og b<strong>er</strong>egning, sinus og cosinus ud<br />
fra den retvinklede trekant, hvor længden af hypotenusen <strong>er</strong> 1.<br />
Dette gæld<strong>er</strong> naturligvis kun for vinkl<strong>er</strong> , d<strong>er</strong> <strong>er</strong> mellem 0 og 90 , men det <strong>er</strong> også tilstrækkeligt h<strong>er</strong>.<br />
Øvelse 2:<br />
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> sin(30 ) ? <strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> sin(150 ) ? Hvorfor <strong>er</strong> det nok, at se på vinkl<strong>er</strong> mellem 0 og 90 for at<br />
konstru<strong>er</strong>e <strong>Ptolemaios</strong> kordetabel?<br />
Ifølge Pythagoras’ sætning <strong>er</strong> de to funktion<strong>er</strong> afhængige, idet d<strong>er</strong> gæld<strong>er</strong>, at<br />
2 2<br />
(sin( )) (cos( )) 1 .<br />
2<br />
Bemærk: Dette skrives ofte med en anden notation: sin ( ) 2<br />
cos ( ) 1 , for at undgå at man komm<strong>er</strong> i<br />
tvivl om, om det <strong>er</strong> , d<strong>er</strong> skal sættes i anden, ell<strong>er</strong> det <strong>er</strong> hele sin( ) d<strong>er</strong> skal sættes i anden.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
4
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Øvelse 3:<br />
Benyt Pythagoras’ sætning til at eft<strong>er</strong>vise, at<br />
2 2<br />
sin ( ) cos ( ) 1 .<br />
<strong>Ptolemaios</strong> tabel indehold<strong>er</strong> jo ikke sinus og cosinus, men i stedet en funktion, som kaldes en<br />
kordefunktion, som vi vil betegne kord( ) . Den defin<strong>er</strong>es som:<br />
kord( ) <strong>er</strong> længden af korden svarende til en bue på grad<strong>er</strong> i en cirkel, hvis radius <strong>er</strong> 60.<br />
Kordefunktionen: kord( )<br />
Sammenhængen mellem kordefunktionen og<br />
sinusfunktionen:<br />
1<br />
kord( )<br />
2<br />
<br />
60 sin( )<br />
2<br />
kord( )<br />
<br />
120 sin( )<br />
2<br />
Tabellen angiv<strong>er</strong> længden af kord<strong>er</strong>, som spænd<strong>er</strong> ov<strong>er</strong> vinkl<strong>er</strong> fra 1<br />
2 til 180 i skridt på 1<br />
2 , og<br />
kordelængd<strong>er</strong>ne <strong>er</strong> angivet i de babylonske 60-talsystemet, som var det talsystem på hans tid, d<strong>er</strong> bedst<br />
egnede sig til regning med brøk<strong>er</strong>.<br />
Dvs. når <strong>Ptolemaios</strong> i tabellen angiv<strong>er</strong>, at<br />
1 kord(4 ) 4;42,40<br />
2<br />
så betyd<strong>er</strong> det i vores 10-tals-system, at<br />
kord(4 ) 4 60 42 60 40 60<br />
1<br />
2<br />
0 1 2<br />
1 1<br />
kord(4 ) 4 1 42 40<br />
60 60<br />
1<br />
2 2<br />
kord(4 ) 4<br />
1<br />
2<br />
42 40<br />
60 3600<br />
1 kord(4 ) 4 0,7 0,011<br />
2<br />
1 kord(4 ) 4,711<br />
2<br />
Målt med en enhed, d<strong>er</strong> <strong>er</strong> 1<br />
60 af cirklens radius.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
5
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Øvelse 4:<br />
Forklar b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong>ne ovenfor, og udregn selv kordelængden for bu<strong>er</strong>ne svarende til 6 og for<br />
7,5 .<br />
Tredje kolonne i tabellen har ov<strong>er</strong>skriften ”Tresindstyvedele”. Tallene i denne kolonne anvendes til at<br />
bestemme kord( ) for vinkl<strong>er</strong>, d<strong>er</strong> ligg<strong>er</strong> mellem to af de i første kolonne angivne vinkl<strong>er</strong>. Metoden kaldes<br />
int<strong>er</strong>polation, som <strong>er</strong> omtalt i kapitel 6: Logaritm<strong>er</strong>. Int<strong>er</strong>polation betyd<strong>er</strong>, at man ud fra kendte værdi<strong>er</strong> i<br />
en tabel b<strong>er</strong>egn<strong>er</strong> værdi<strong>er</strong>, som man ikke direkte kan aflæse af tabellen.<br />
Tresindstyvedele betyd<strong>er</strong> i denne sammenhæng 1 , hvilket netop svar<strong>er</strong> til 60 1' (bueminut). Dette b<strong>er</strong>egnes<br />
som 1<br />
1<br />
1 1 1<br />
af springet fra linje til linje i vinkelkolonnen i tabellen, altså dvs. .<br />
30 30 30 2 60<br />
Øvelse 5:<br />
Hvis vi fx vil finde kord(4 32') , så kan vi jo ikke umiddelbart aflæse det tal i tabellen, og vi må d<strong>er</strong>for<br />
benytte int<strong>er</strong>polation ved hjælp af den tredje kolonne.<br />
Først ov<strong>er</strong>vej<strong>er</strong> vi, at 4 32' 4,5 2' , dvs. vi skal bruge korden svarende til 4,5 plus det ekstra som de 2<br />
bueminutt<strong>er</strong> giv<strong>er</strong> ifølge tresindstyvedele-kolonnen. Ifølge tabellen <strong>er</strong> kord(4,5 ) 4;42,40 . Da 1' ifølge<br />
1<br />
tresindstyvedele-kolonnen i int<strong>er</strong>vallet fra 4 2 til 5 svar<strong>er</strong> til 0;1,2,47, så kan vi b<strong>er</strong>egne kordens længde<br />
svarende til vinklen 4 32' til:<br />
4;42,40 2 (0;1,2,47) 4;42,40 0;2,5,34 4;44,45,34<br />
hvilket i 10-talssystemet svar<strong>er</strong> til 4,74599 .<br />
a) Tjek b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong>ne ovenfor og gør rede for at 4;44,45,34 i 60-talssystemet <strong>er</strong> det samme som 4,74599<br />
i 10-talssystemet.<br />
Vink: Lav fx din egen omregn<strong>er</strong>, idet du opstill<strong>er</strong> et udtryk svarende til:<br />
0 1 2 3<br />
tal10 s0 60 s1 60 s2 60 s 3 60<br />
hvor du så blot skal indtaste værdi<strong>er</strong>ne for s0 , s1 , s2 og s 3 , som i ovenstående tilfælde <strong>er</strong><br />
s0 4, s1 44, s2 45, s 3 34 .<br />
b) Bestem selv ved int<strong>er</strong>polation kord(7 34') .<br />
c) Sammenlign de fundne kordelængd<strong>er</strong> med kordelængd<strong>er</strong>, som du kan bestemme med et mod<strong>er</strong>ne<br />
<br />
værktøj, idet du udnytt<strong>er</strong>, at kord( ) 120 sin( ) .<br />
2<br />
Man kan naturligvis også bruge tabellen omvendt, dvs. finde vinklen , hvis vi kend<strong>er</strong> kord( ) , idet vi så<br />
skal gå baglæns ind i tabellen.<br />
Øvelse 6:<br />
a) Bestem den vinkel , d<strong>er</strong> svar<strong>er</strong> til kordelængden 7;19,33 , og omregn kordelængden til 10talssystemet.<br />
b) Bestem den vinkel , d<strong>er</strong> svar<strong>er</strong> til kordelængden 2;5,40,0 3 0;1,2,50 2;8,48,30 , og omregn<br />
kordelængden til 10-talssystemet.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
af 1<br />
2<br />
6
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Hvordan anvendes kordetabellen?<br />
Med disse to op<strong>er</strong>ation<strong>er</strong> at regne frem og tilbage ved hjælp af kordetabellen kunne <strong>Ptolemaios</strong> udføre<br />
mange af de trigonometriske b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong>, han havde brug for. Mange geometriske problem<strong>er</strong> kan nemlig<br />
løses ved at regne på trekant<strong>er</strong>, dvs. bestemm<strong>er</strong> sid<strong>er</strong> og vinkl<strong>er</strong> i trekant<strong>er</strong> (fx som ved triangul<strong>er</strong>ing).<br />
<strong>Ptolemaios</strong> lav<strong>er</strong> ikke en samlet fremstilling af, hvordan han løs<strong>er</strong> trigonometriske problem<strong>er</strong>, men samles<br />
de spredte passag<strong>er</strong> i ”Almagest”, så find<strong>er</strong> man løsning<strong>er</strong> på mindst fem forskellige problemtyp<strong>er</strong>, som vi<br />
behandl<strong>er</strong> nedenfor:<br />
I. Den retvinklede trekant.<br />
II. Trekant<strong>er</strong>, hvor en vinkel og dens to hosliggende sid<strong>er</strong> <strong>er</strong> kendte.<br />
III. Trekant<strong>er</strong>, hvor to vinkl<strong>er</strong> og en ikke mellemliggende side <strong>er</strong> kendt.<br />
IV. Trekant<strong>er</strong>, hvor en vinkel og dens hosliggende samt dens modstående side <strong>er</strong> kendte.<br />
V. Trekant<strong>er</strong>, hvor alle tre sid<strong>er</strong> <strong>er</strong> kendte.<br />
I. Den retvinklede trekant:<br />
Hvis vi kan bestemme sid<strong>er</strong> og vinkl<strong>er</strong> (samlet kaldes disse trekantens stykk<strong>er</strong>) i retvinklede trekant<strong>er</strong>, så<br />
kan vi bruge dette til at bestemme stykk<strong>er</strong>ne i en vilkårlig trekant, fordi denne jo kan opdeles i to<br />
retvinklede trekant<strong>er</strong>. D<strong>er</strong>for <strong>er</strong> løsning af denne kategori af problem<strong>er</strong> grundlaget for løsning af alle andre.<br />
Konstru<strong>er</strong> en retvinklet trekant samt dens omskrevne cirkel, idet centrum for den omskrevne cirkel ligg<strong>er</strong> i<br />
hypotenusens midtpunkt, fordi hypotenusen bliv<strong>er</strong> diamet<strong>er</strong> i cirklen.<br />
Vi mind<strong>er</strong> om nogle resultat<strong>er</strong> fra Euklid:<br />
Definition<strong>er</strong>:<br />
En cent<strong>er</strong>vinkel <strong>er</strong> en vinkel med toppunkt i cirklens centrum og begge<br />
ben som cirkelradi<strong>er</strong>.<br />
En p<strong>er</strong>if<strong>er</strong>ivinkel <strong>er</strong> en vinkel med toppunkt på cirkelp<strong>er</strong>if<strong>er</strong>ien og<br />
begge ben som kord<strong>er</strong> i cirklen.<br />
Sætning<strong>er</strong>:<br />
En cent<strong>er</strong>vinkel <strong>er</strong> lige så stor som den bue den spænd<strong>er</strong> ov<strong>er</strong>.<br />
En p<strong>er</strong>if<strong>er</strong>ivinkel <strong>er</strong> halt så stor som den bue den spænd<strong>er</strong> ov<strong>er</strong>.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
7
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Øvelse 7:<br />
Argumentér, ved hjælp af ovenstående resultat<strong>er</strong> fra Euklid, for at vinkl<strong>er</strong> og sid<strong>er</strong> kan bestemmes som vist<br />
på figuren, idet vinkel A sættes til :<br />
Antag nu, at diamet<strong>er</strong>en i cirklen <strong>er</strong> 120 , dvs. radius <strong>er</strong> 60 , så vil korden CB have længden kord(2 ) , dvs.<br />
kord(2 )<br />
120<br />
a<br />
c<br />
Hvis så to af stykk<strong>er</strong>ne , a og c<strong>er</strong><br />
kendt, så kan vi altså finde det tredje.<br />
Øvelse 8:<br />
a) Hvordan bestemmes vinkel B , som vi h<strong>er</strong> kald<strong>er</strong> ?<br />
b) Hvordan bestemmes den sidste side b i trekanten, når vi kend<strong>er</strong> a og c?<br />
Således kan vi ved hjælp af kordetabellen bestemme alle stykk<strong>er</strong> i den retvinklede trekant, hvis vi kend<strong>er</strong> en<br />
vinkel og en side ell<strong>er</strong> to sid<strong>er</strong>, hvoraf den ene <strong>er</strong> hypotenusen.<br />
II. Trekant<strong>er</strong>, hvor en vinkel og dens to hosliggende sid<strong>er</strong> <strong>er</strong> kendte.<br />
Konstru<strong>er</strong> en model af trekanten og nedfæld højden h fra vinkel C , som vist på figuren, og kald fodpunktet<br />
for højden for H :<br />
I den retvinklede trekant AHC kend<strong>er</strong> vi sidelængden b og vinkel A , som vi kald<strong>er</strong> .<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
8
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Øvelse 9:<br />
a) Argument<strong>er</strong> for, at vi således også ved hjælp af kordetabellen kan bestemme h , p og vinkel C i trekant<br />
AHC .<br />
b) Argument<strong>er</strong> vid<strong>er</strong>e for, at vi d<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> kan bestemme q , og d<strong>er</strong>med c .<br />
c) Vi kend<strong>er</strong> nu to sid<strong>er</strong> i trekant BHC . Argument<strong>er</strong> for at vi således ved hjælp af kordetabellen kan<br />
bestemme a og vinkel C samt vinkel B i trekant AHC .<br />
d) Hvordan bestemme vinkel C i trekant ABC ?<br />
III. Trekant<strong>er</strong>, hvor to vinkl<strong>er</strong> og en ikke mellemliggende side <strong>er</strong> kendt.<br />
Antag, at vi kend<strong>er</strong> vinkel A , som vi kald<strong>er</strong> og vinkel B , som vi kald<strong>er</strong> samt siden b . Konstru<strong>er</strong> en<br />
model af trekanten, og inddel den igen i to retvinklede trekant<strong>er</strong>, som h<strong>er</strong>:<br />
Øvelse 10:<br />
a) Hvordan bestemmes vinkel C , som vi h<strong>er</strong> kald<strong>er</strong> ?<br />
b) Hvilke stykk<strong>er</strong> kend<strong>er</strong> vi den retvinklede trekant AHC ? Kan vi så bestemme resten?<br />
c) Hvilke stykk<strong>er</strong> kend<strong>er</strong> vi den retvinklede trekant BHC ? Kan vi så bestemme resten?<br />
d) Hvordan bestemmes siden c i trekant ABC ?<br />
IV. Trekant<strong>er</strong>, hvor en vinkel og dens hosliggende samt dens modstående side <strong>er</strong> kendte.<br />
Antag, at vi kend<strong>er</strong> vinkel A , som vi kald<strong>er</strong> samt sid<strong>er</strong>ne a og b . Konstru<strong>er</strong> en model af trekanten, og<br />
opdel den igen som ovenfor i to retvinklede trekant<strong>er</strong> ved hjælp af højden fra C .<br />
Øvelse 11:<br />
Argument<strong>er</strong> som ovenfor for bestemmelse af alle sid<strong>er</strong> og vinkl<strong>er</strong> i trekant ABC .<br />
V. Trekant<strong>er</strong>, hvor alle tre sid<strong>er</strong> <strong>er</strong> kendte.<br />
Denne problemtype <strong>er</strong> lidt speciel for <strong>Ptolemaios</strong>, fordi han i sine astronomiske obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong> stort set altid<br />
kend<strong>er</strong> mindst en vinkel. Dog find<strong>er</strong> man i Bog IV en passage, d<strong>er</strong> omhandl<strong>er</strong> formørkels<strong>er</strong>, hvor han netop<br />
må løse et problem af den karakt<strong>er</strong>.<br />
Konstru<strong>er</strong> en model af trekanten, og opdel den igen som ovenfor i to retvinklede trekant<strong>er</strong> ved hjælp af<br />
højden fra C , som vist nedenfor:<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
9
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Hvis vi så kan bestemme p og q , så kend<strong>er</strong> vi to sid<strong>er</strong> i hv<strong>er</strong> af de to retvinklede trekant<strong>er</strong>, og d<strong>er</strong>med kan<br />
vi ved hjælp af kordetabellen bestemme vinkel A og vinkel B , og d<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> vinkel C – hvordan?<br />
Vi skal altså bestemme p og q .<br />
Øvelse 12:<br />
Opskriv sammenhængen mellem p, q og c .<br />
Vis ved hjælp af Pythagoras’ sætning, at d<strong>er</strong> gæld<strong>er</strong>:<br />
2 2 2<br />
h b p og<br />
og vis ved hjælp h<strong>er</strong>af, at<br />
2 2 2 2<br />
p q b a<br />
2 2 2<br />
h a q<br />
Vis nu ved hjælp af en kvadratsætning, at d<strong>er</strong> også gæld<strong>er</strong>:<br />
2 2<br />
p q c p q<br />
( )<br />
og benyt dette til at vise, at<br />
p q<br />
2 2<br />
b a<br />
c<br />
Da vi kend<strong>er</strong> alle tre sid<strong>er</strong> a, b og c , så kan vi altså b<strong>er</strong>egne p q. Desuden ved vi, at p q c , så d<strong>er</strong>for<br />
kan vi nu bestemme, som var det d<strong>er</strong> var nødvendigt for at kunne bestemme alle stykk<strong>er</strong> i trekant ABC !<br />
Vi har altså set, at i de fem angivne tilfælde kan alle trekantens stykk<strong>er</strong> bestemmes ved hjælp af<br />
kordetabellen, idet vi benytt<strong>er</strong><br />
kord(2 )<br />
120<br />
a<br />
c<br />
i den retvinklede trekant. Dvs. vi slår kord(2 ) op i tabellen, og d<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> divid<strong>er</strong><strong>er</strong> vi med 120 . Men at<br />
divid<strong>er</strong>e med 120 svar<strong>er</strong> jo til først at halv<strong>er</strong>e og d<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> divid<strong>er</strong>e med 60 , og at divid<strong>er</strong>e med 60 i 60talssystemet<br />
<strong>er</strong> jo nemt, fordi det svar<strong>er</strong> bare til at flytte semikolonet en plads til venstre! Rent praktiskskal<br />
vi altså finde den halve korde til den dobbelte bue, fordi så <strong>er</strong> resten bare et spørgsmål om af flytte<br />
komma<strong>er</strong>! Denne op<strong>er</strong>ation skal, som vi så ovenfor, ofte anvendes, og det vil d<strong>er</strong>for være meget praktisk,<br />
at have en tabel, d<strong>er</strong> netop foretag<strong>er</strong> denne b<strong>er</strong>egning – dvs. en sinustabel!<br />
Øvelse 13:<br />
a) Forklar ved hjælp af figuren anvendt ovenfor, at b<strong>er</strong>egning af den halve korde til den dobbelte bue netop<br />
svar<strong>er</strong> til en sinustabel.<br />
b) Konstru<strong>er</strong> en sinustabel (fx i et regneark) til den halve vinkel i kordetabellen fra 0 til 5 :<br />
1) Opret en tabel i et regneark, og indskriv vinkl<strong>er</strong>ne fra 0 til 5 i den første kolonne.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
10
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
2) I anden kolonne skrives de tilsvarende kordelængd<strong>er</strong> – omskrevet til 10-talssystemet (brug din<br />
omregn<strong>er</strong>) med 5 decimal<strong>er</strong>s nøjagtighed.<br />
3) I tredje kolonne angives værdi<strong>er</strong>ne for sinus (fast med 5 decimal<strong>er</strong>) til den halve vinkel, som<br />
<br />
b<strong>er</strong>egnes via en omskrivning af kord( ) 120 sin( ) :<br />
2<br />
b) Benyt din tabel til at udregne sinus til 2 , og til at bestemme den vinkel, hvis sinus <strong>er</strong> 0,04362 .<br />
Hvordan <strong>er</strong> kordetabellen konstru<strong>er</strong>et?<br />
<strong>Ptolemaios</strong>’ udgangspunkt var jo som nævnt en cirkel med radius 60 . I det følgende vil vi betegne en korde<br />
svarende til 1<br />
n af cirklen med c n .<br />
Øvelse 14:<br />
Længden af cn kan da b<strong>er</strong>egnes ved:<br />
360<br />
kord( ) .<br />
n<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
cn<br />
Dvs. for n 12 find<strong>er</strong> vi c 12 kord(30 ) .<br />
a) Konstru<strong>er</strong> en dynamisk model, hvor du kan lade n antage forskellige værdi<strong>er</strong> (fx med en skyd<strong>er</strong>), således<br />
at modellen automatisk vis<strong>er</strong> den tilhørende korde og b<strong>er</strong>egn<strong>er</strong> vinklen svarende til korden:<br />
11
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
b) Bestem længden af kord<strong>er</strong>ne svarende til n 18, n 9 og n 6 .<br />
c) Hvordan kan man b<strong>er</strong>egne kordelængden, når n 2 ? Og når n 4 ?<br />
Øvelse 15:<br />
Konstru<strong>er</strong> nu en ny cirkel med radius 60 og med betegnels<strong>er</strong> som på figuren nedenfor:<br />
D <strong>er</strong> centrum i cirklen<br />
BD <strong>er</strong> vinkelret på AC<br />
E halv<strong>er</strong><strong>er</strong> DC<br />
F <strong>er</strong> skæringspunkt mellem AC og cirklen med centrum i E og radius EB<br />
<strong>Ptolemaios</strong>’ påstår nu, at DF c10 og BF c 5 . H<strong>er</strong> henvis<strong>er</strong> han Euklids konstruktion af den regulære<br />
femkant, hvor netop DF konstru<strong>er</strong>es, og det vises, at DF netop svar<strong>er</strong> til sidelængden i den regulære 10kant.<br />
Endvid<strong>er</strong>e henvis<strong>er</strong> han til Euklid Bog XIII sætning 10:<br />
Sid<strong>er</strong>ne i den regulære 5-kant, 6-kant og 10-kant, hvor de alle <strong>er</strong> indskrevne i samme cirkel,<br />
dann<strong>er</strong> en retvinklet trekant.<br />
Da 5-kantens sidelængde <strong>er</strong> størst, gæld<strong>er</strong> d<strong>er</strong> ifølge Pythagoras’ sætning<br />
2 2 2<br />
c5 c6 c 10<br />
hvor c6r 60 , og ved hjælp af Pythagoras’ sætning anvendt på trekant FDB må får vi netop 5<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
BF c .<br />
Øvelse 16:<br />
Ov<strong>er</strong>vej, hvorfor c6r 60 , og vis ved b<strong>er</strong>egning at Pythagoras’ sætning anvendt på trekant FDB giv<strong>er</strong>, at<br />
BF c 5 .<br />
<strong>Ptolemaios</strong> går nu ov<strong>er</strong> til at b<strong>er</strong>egne c 10 og c 5 .<br />
Øvelse 17: Bestemmelse af c10 og d<strong>er</strong>med kord(36 )<br />
a) Gør rede for, at DE 30 og DB 60 , idet radius i cirklen <strong>er</strong> 60 .<br />
12
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
b) Vis, at EB<br />
67;4,5.<br />
4500 67,08204 , og benyt din omregn<strong>er</strong> til at vise, at dette skrevet i 60-talssytemet <strong>er</strong><br />
1<br />
c) Gør rede for, at så <strong>er</strong> c10 FD 37;4,55 37,08194 .<br />
d) Gør rede for, at vi således har bestemt kord(36 ) , idet du husk<strong>er</strong> at c10 <strong>er</strong> sidelængden i den regulære<br />
10-kant.<br />
Øvelse 18: Bestemmelse af c5 og d<strong>er</strong>med kord(72 )<br />
Vi ved nu, at FD 37;4,55 37,08194 .<br />
2<br />
2<br />
a) Bestem FD og DB , og benyt Pythagoras’ sætning til at vise, at BF 70,53417=70;32,3 . Benyt din<br />
omregn<strong>er</strong> til at vise, at det sidste lighedstegn gæld<strong>er</strong>.<br />
b) Gør rede for, at vi nu har vist, at kord(72 ) 70;32,3 .<br />
Vi har nu fundet to værdi<strong>er</strong> til tabellen!<br />
Øvelse 19: Bestemmelse af c6 og d<strong>er</strong>med kord(60 )<br />
Gør rede for, at kord(60 ) 60 , idet du husk<strong>er</strong>, at c6 <strong>er</strong> sidelængden i den regulære 6-kant.<br />
Vink: Gå tilbage til din dynamiske b<strong>er</strong>egning af kordelængd<strong>er</strong>, og sæt n 6 , og læg mærke hvilken type<br />
trekant, d<strong>er</strong> fremkomm<strong>er</strong>.<br />
Nu har vi tre værdi<strong>er</strong>!<br />
Øvelse 20: Bestemmelse af c4 og d<strong>er</strong>med kord(90 )<br />
Gør rede for, at kord(90 ) 7200=84,85278=84;51,10 , idet du husk<strong>er</strong>, at c4 <strong>er</strong> sidelængden i den<br />
regulære 4-kant, dvs. kvadratet. Benyt din omregn<strong>er</strong> til at vise, at det sidste lighedstegn gæld<strong>er</strong>.<br />
Vink: Gå tilbage til din dynamiske b<strong>er</strong>egning af kordelængd<strong>er</strong>, og sæt n 4 , og læg mærke hvilken type<br />
trekant, d<strong>er</strong> fremkomm<strong>er</strong>.<br />
Nu har vi fire værdi<strong>er</strong>!<br />
Øvelse 21: Bestemmelse af c3 og d<strong>er</strong>med kord(120 )<br />
2<br />
Gør ved hjælp af nedenstående figur redefor, at c3 2<br />
r<br />
2<br />
(2 r ) .<br />
Vink: Konstru<strong>er</strong> selv figuren. Gå tilbage til din dynamiske b<strong>er</strong>egning af kordelængd<strong>er</strong>, og sæt n<br />
Konstru<strong>er</strong> nu (oveni denne figur) den retvinklede trekant:<br />
3 .<br />
Konstru<strong>er</strong> diamet<strong>er</strong>en i cirklen ved at forlænge det ene vinkelben til skæring med cirklen<br />
1 <strong>Ptolemaios</strong> tag<strong>er</strong> det for givet, at man kan uddrage kvadratrødd<strong>er</strong>, og han benytt<strong>er</strong> også den samme værdi for 2 , som man<br />
fandt på den gamle babylonske l<strong>er</strong>tavle omtalt i øvelse 3.39, hvor resultatet af b<strong>er</strong>egningen:<br />
2 2 2<br />
30 30 2 30 2 30 42;25,35 <strong>er</strong> angivet sammen med tallet 1;24,51,10 , som netop vis<strong>er</strong> sig at være<br />
2 1,41421 , hvilket svar<strong>er</strong> fint til den mod<strong>er</strong>ne værdi.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
13
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Konstru<strong>er</strong> korden mellem dette skæringspunkt og skæringspunktet mellem cirklen og det andet<br />
vinkelben.<br />
Gør rede for, at så <strong>er</strong> kord(120 ) 10800=103,92305=103;55,23 . Benyt din omregn<strong>er</strong> til at vise, at det<br />
sidste lighedstegn gæld<strong>er</strong>.<br />
Nu har vi fem værdi<strong>er</strong>!<br />
Men hvis man kend<strong>er</strong> en given bues korde, så kan man også finde supplementbuens korde, idet vi<br />
anvend<strong>er</strong> Pythagoras’ sætning på den retvinklede trekant i figuren nedenfor:<br />
kord (180 ) kord ( ) (2 r)<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
kord (180 ) kord ( ) 120<br />
2 2 2<br />
kord (180 ) 120 kord ( )<br />
2 2 2<br />
kord(180 ) 120 kord ( ) 14400 kord ( )<br />
Dette illustr<strong>er</strong><strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong> ved b<strong>er</strong>egning af kord(144 ) .<br />
Øvelse 22:<br />
Benyt ligesom <strong>Ptolemaios</strong> formlen ovenfor til at b<strong>er</strong>egne, at kord(144 ) 114,12678=114;7,37 , idet du<br />
all<strong>er</strong>ede kend<strong>er</strong> kord(36 ) . Benyt din omregn<strong>er</strong> til at vise, at det sidste lighedstegn gæld<strong>er</strong>.<br />
Denne lille omskrivning giv<strong>er</strong> os så alle supplementvinkl<strong>er</strong>ne til de vinkl<strong>er</strong> vi all<strong>er</strong>ede har bestemt – dvs:<br />
Nu har vi ti værdi<strong>er</strong>!<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
14
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
Resten af værdi<strong>er</strong>ne find<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong> ved hjælp af en sætning, som vi i dag kend<strong>er</strong> som <strong>Ptolemaios</strong>’<br />
sætning, og den sig<strong>er</strong>:<br />
Øvelse 23:<br />
Hvis ABCD <strong>er</strong> en firkant indskrevet i en cirkel, så <strong>er</strong> produktet af diagonal<strong>er</strong>ne lig med<br />
summen af produkt<strong>er</strong>ne af hv<strong>er</strong>t par af modstående sid<strong>er</strong>, dvs.<br />
AC BD AB CD AD BC<br />
a) Konstru<strong>er</strong> figuren i dit dynamiske geometriprogram, og opstil b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong> knyttet til den dynamiske<br />
figur, hvor du b<strong>er</strong>egn<strong>er</strong> hhv. venstre side og højre side af lighedstegnet i sætningen.<br />
b) Und<strong>er</strong>søg, om <strong>Ptolemaios</strong>´ sætning s<strong>er</strong> ud til at holde, idet du deform<strong>er</strong><strong>er</strong> figuren ved at trækk<strong>er</strong> i den,<br />
og samtidigt hold<strong>er</strong> øje med om de to b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong> forbliv<strong>er</strong> ens.<br />
Bevis for sætningen:<br />
Konstru<strong>er</strong> et punkt E på diagonalen AC , således at ABE DBC :<br />
D<strong>er</strong> må så gælde, at CBE ABD .<br />
Vi s<strong>er</strong> endvid<strong>er</strong>e, at BCA BDA , fordi de <strong>er</strong> p<strong>er</strong>if<strong>er</strong>ivinkl<strong>er</strong> og spænd<strong>er</strong> ov<strong>er</strong> den samme bue.<br />
D<strong>er</strong>med ved vi, at trekant BCE og trekant DBC <strong>er</strong> ensvinklede!<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
15
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
D<strong>er</strong>for gæld<strong>er</strong> d<strong>er</strong>, at<br />
BC BD<br />
CE AD<br />
BC AD BD CE<br />
På samme måde kan man vise, at trekant BAE og trekant BDC <strong>er</strong> ensvinklede, hvorfor d<strong>er</strong> også gæld<strong>er</strong>, at<br />
<br />
AB AE<br />
BD CD<br />
AB CD AE BD<br />
Hvis så lægg<strong>er</strong> de fundne to udtryk sammen får vi<br />
AB CD BC AD AE BD BD CE<br />
AB CD BC AD BD ( AE CE )<br />
AB CD BC AD BD AC<br />
som jo netop <strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong>’ sætning!<br />
<strong>Ptolemaios</strong> vis<strong>er</strong> nu, at hvis man kend<strong>er</strong> to bu<strong>er</strong> og d<strong>er</strong>es kord<strong>er</strong>, så kan man nemt b<strong>er</strong>egne korden<br />
svarende til forskellen mellem to bu<strong>er</strong> – fx buen BC – ud fra <strong>Ptolemaios</strong>’ sætning.<br />
H<strong>er</strong> antag<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong>, at kord<strong>er</strong>ne AB og AC <strong>er</strong> kendte, og han vil så bestemme korden BC .<br />
Kord<strong>er</strong>ne BD og CD b<strong>er</strong>egnes ud fra de kendte kord<strong>er</strong> ved hjælp af formlen for supplementvinkl<strong>er</strong> – se<br />
figur<strong>er</strong> nedenfor.<br />
Vi har således bestemt sid<strong>er</strong>ne AB, CD og diagonal<strong>er</strong>ne BD og AC . Desuden ved vi at diamet<strong>er</strong>en <strong>er</strong><br />
AD 120 . H<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> giv<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong>’ sætning:<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
16
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
AB CD BC AD BD AC<br />
AB CD BC 120 BD AC<br />
120 BC BD AC AB CD<br />
hvor hele højresiden <strong>er</strong> kendt, dvs. man får altså et simpelt udtryk for BC ved brug af <strong>Ptolemaios</strong> sætning.<br />
Anvend<strong>er</strong> vi betegnels<strong>er</strong>ne og , som ovenfor, så får vi venstresiden til<br />
og højresiden til<br />
120 BC 120 kord( )<br />
BD AC AB CD kord(180 ) kord( ) kord( ) kord(180 )<br />
Sammensættes disse b<strong>er</strong>egning<strong>er</strong> fås<br />
120 kord( ) kord(180 ) kord( ) kord( ) kord(180 )<br />
Altså kan korden svarende til forskellen mellem to vinkl<strong>er</strong> nemt b<strong>er</strong>egnes, når vi kend<strong>er</strong> de to vinkl<strong>er</strong>s<br />
kord<strong>er</strong>.<br />
Øvelse 24:<br />
Udregn som <strong>Ptolemaios</strong> gjorde det kord(12 ) ud fra kord(72 ) og kord(60 ) , som jo all<strong>er</strong>ede <strong>er</strong> b<strong>er</strong>egnet.<br />
Nu har vi så mange fl<strong>er</strong>e værdi<strong>er</strong> i tabellen!<br />
H<strong>er</strong>eft<strong>er</strong> vis<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong>, at man ud fra en given vinkels korde kan bestemme korden svarende til den<br />
halve vinkel ved formlen<br />
<br />
2<br />
2<br />
kord ( ) 60 (120 kord(180 ))<br />
Anvendes denne formel gentagne gange kan man altså ud fra kord(12 ) b<strong>er</strong>egne kord(6 ) , kord(3 ) ,<br />
kord(1 3 ) og kord( ) . Når man så har b<strong>er</strong>egnet korden for så små vinkl<strong>er</strong>, så vil det jo være nemt at<br />
1<br />
2<br />
4<br />
1<br />
b<strong>er</strong>egne sig frem til en kordetabel med et spring på 1 , hvis bare man kan finde en additionsformel for<br />
2<br />
kord<strong>er</strong> ligesom vi ovenfor fandt en subtraktionsformel for kord<strong>er</strong>. <strong>Ptolemaios</strong> udled<strong>er</strong> så en sådan<br />
additionsformel, nemlig<br />
120 kord(180 ( )) kord(180 ) kord(180 ) kord( ) kord( )<br />
Både subtraktionsformlen og additionsformlen mind<strong>er</strong> meget om tilsvarende forml<strong>er</strong>, som gæld<strong>er</strong> for sinus<br />
og cosinus.<br />
Men <strong>Ptolemaios</strong> mangl<strong>er</strong> at bestemme kord(1 ) . Hvis han var tilfreds med et ov<strong>er</strong>slag, så kunne han have<br />
3<br />
b<strong>er</strong>egnet dette ud fra de kendte værdi<strong>er</strong> for kord( 4<br />
1<br />
) og kord(1 2 ) . Fordi 3<br />
4 <strong>er</strong> jo netop det halve af 1 1 , og 2<br />
3 da kord( 4 )<br />
1<br />
1 kord(1 2<br />
2<br />
) , så <strong>er</strong> det jo nærliggende at tro, at kord(1 )<br />
2<br />
1 kord(1 2<br />
3<br />
) ligesom 1 jo netop <strong>er</strong><br />
2 1 . D<strong>er</strong>ved ville han få kord(1 ) 1;2,50 , som faktisk <strong>er</strong> den værdi, d<strong>er</strong> <strong>er</strong> angivet i kordetabellen.<br />
3 af 1<br />
2<br />
Men han ønsk<strong>er</strong> præcision, så han vis<strong>er</strong> endnu en sætning, som han anvend<strong>er</strong> til at bevise, at<br />
1<br />
kord(1 ) 1;2,50 . Endelig fuldend<strong>er</strong> han tabellen ved b<strong>er</strong>egning af kord( ) 2 , som b<strong>er</strong>egnes ud fra<br />
halvbueformlen.<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
17
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
”Almagest”<br />
”Almagest” <strong>er</strong> opbygget af 13 bøg<strong>er</strong>, hvori <strong>Ptolemaios</strong> beskriv<strong>er</strong> alle astronomiens fænomen<strong>er</strong>, og specielt<br />
hans detalj<strong>er</strong>ede beskrivels<strong>er</strong> af hv<strong>er</strong> planets bevægelse <strong>er</strong> unik. <strong>Ptolemaios</strong> foretog selv en del<br />
obs<strong>er</strong>vation<strong>er</strong>, og i ”Almagest” medtag<strong>er</strong> han Hipparchos' stj<strong>er</strong>nekatalog, som han udvid<strong>er</strong> fra 850 til 1022<br />
stj<strong>er</strong>n<strong>er</strong>.<br />
I ”Almagest” <strong>er</strong> d<strong>er</strong> element<strong>er</strong> fra mange andre cicilisation<strong>er</strong>, som det <strong>er</strong> karat<strong>er</strong>istisk for hellenistisk<br />
litt<strong>er</strong>atur. Man find<strong>er</strong>, som vi så ovenfor, anvendelse af det babylonske talsystem men også fl<strong>er</strong>e ægyptiske<br />
element<strong>er</strong>. Fx anvend<strong>er</strong> <strong>Ptolemaios</strong> konsekvent, at et døgn udgør 24 tim<strong>er</strong>, hvilket <strong>er</strong> en ægyptisk<br />
opfindelse, og enkelte sted<strong>er</strong> anvend<strong>er</strong> han brøk<strong>er</strong>, som man gjorde i Ægypten, dvs. stambrøk<strong>er</strong> fx:<br />
1 1 2 4 , som vi jo i dag skriv<strong>er</strong> som 3<br />
4 .<br />
Nedenfor ses sid<strong>er</strong> fra en græsk udgave af "Almagest" fra det 9. årh. fra Vatikanets bibliotek – bemærk især<br />
tabellen og de mange tilskrevne not<strong>er</strong>, som også bliv<strong>er</strong> kild<strong>er</strong> i forståelse af værkets betydning:<br />
Se en større udgave h<strong>er</strong>: http://www.loc.gov/exhibits/vatican/images/math09a.jpg<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
18
<strong>Hvad</strong> <strong>er</strong> <strong>matematik</strong>? C, i-<strong>bog</strong><br />
ISBN 978 87 7066 499 8<br />
Projekt<strong>er</strong>: Kapitel 8<br />
I 1160 blev ”Almagest” igen ov<strong>er</strong>sat fra græsk af en ukendt ov<strong>er</strong>sætt<strong>er</strong> på Sicilien. Det var en meget fin<br />
kildenær ov<strong>er</strong>sættelse, men den vandt ingen særlig udbredelse. I det 15. årh. dukkede den viste udgave<br />
dog op i Firenze. H<strong>er</strong> ses til venstre Bog XII kapitel 8-9, hvor d<strong>er</strong> i margin <strong>er</strong> tegnet planetmodell<strong>er</strong>.<br />
Til højre ses en udgave af ”Almagest” fra det 13. årh. Den indehold<strong>er</strong> den vigtigste middelald<strong>er</strong>lige latinske<br />
ov<strong>er</strong>sættelse af "Almagest”, som stamm<strong>er</strong> fra 1175 ov<strong>er</strong>sat af G<strong>er</strong>ard fra Cremona, Spanien. Sid<strong>er</strong>ne vis<strong>er</strong><br />
Book X kapitel 6-7, d<strong>er</strong> bl.a. indehold<strong>er</strong> Ptolemæus’ beskrivelse af hans kinematiske model for bevægelse af<br />
Mars, Jupit<strong>er</strong> og Saturn.<br />
Se større udgav<strong>er</strong> h<strong>er</strong>:<br />
http://www.loc.gov/exhibits/vatican/images/math10a.jpg<br />
http://www.loc.gov/exhibits/vatican/images/math11a.jpg<br />
<strong>Ptolemaios</strong>’ ”Handy tables”, som vi vel kunne kalde ”Praktiske tabell<strong>er</strong>”,<br />
b<strong>er</strong>egnet til praktisk b<strong>er</strong>egning, blev redig<strong>er</strong>et af Theon af Alexandria i det<br />
4. årh. evt. og blev, med forskellige modifikation<strong>er</strong> grundlaget for sen<strong>er</strong>e<br />
astronomiske tabell<strong>er</strong>. Med disse tabell<strong>er</strong> kunne man b<strong>er</strong>egne position<strong>er</strong><br />
for sol, måne og planet<strong>er</strong> samt solformørkels<strong>er</strong> og måneformørkels<strong>er</strong> langt<br />
hurtig<strong>er</strong>e end med de tabell<strong>er</strong>, d<strong>er</strong> indgår i ”Almagest”. Forsiden af værket<br />
vis<strong>er</strong> zon<strong>er</strong>ne for de 6 nordlige stj<strong>er</strong>netegn elegant tegnet i hvidt mod den<br />
mørke blå nattehimmel.<br />
Se en forstørrelse h<strong>er</strong>:<br />
http://www.loc.gov/exhibits/vatican/images/math12a.jpg<br />
George Trebizond, en af de bemærkelsesværdige græske<br />
lærde, d<strong>er</strong> kom til Italien i det tidlige 15. årh., lavede en<br />
ny ov<strong>er</strong>sættelse af Almagest fra græsk for Pave Nicholas<br />
V. I dette manuskript <strong>er</strong> d<strong>er</strong> anvendt farv<strong>er</strong> på figur<strong>er</strong>ne.<br />
Disse sid<strong>er</strong> vis<strong>er</strong> Bog VI kapitel 7, hvor varigheden af solog<br />
måneformørkels<strong>er</strong> b<strong>er</strong>egnes.<br />
Se en større udgave h<strong>er</strong>:<br />
http://www.loc.gov/exhibits/vatican/images/math17.jpg<br />
© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmag<strong>er</strong>gade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk<br />
19