Induktionsbevis og sum af række side 1/7 - Steen Toft Jørgensen
Induktionsbevis og sum af række side 1/7 - Steen Toft Jørgensen
Induktionsbevis og sum af række side 1/7 - Steen Toft Jørgensen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Induktionsbevis</strong> <strong>og</strong> <strong>sum</strong> <strong>af</strong> <strong>række</strong> <strong>side</strong> 7/7<br />
Opgave 10<br />
Find et udtryk for<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
3<br />
<strong>og</strong> bevis at det er rigtigt.<br />
Vi har tidligere vist, at differentialkvotienten <strong>af</strong> et produkt er<br />
( f f ) ′ = ( f ) ′ f + f ( f ) ′<br />
Opgave 11<br />
Vis ved induktion, at<br />
( f f f ... f ) ′ = ( f ) ′ f f ... f + f ( f ) ′ f ... f + ... + f f f ...( f ) ′<br />
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />
I specialtilfældet f1(x) = f2(x) = f3(x) =... = fn(x) = x, har vi<br />
Opgave 12<br />
Vis denne formel direkte vha. et induktionsbevis.<br />
Vink. For n = 1 står der (x)’ = 1x 1-1 = 1x 0 = 1; her er formlen altså ok.<br />
For n = 2 står der (x 2 )’ = 2x 2-1 = 2x 1 = 2x; så <strong>og</strong>så i dette tilfælde passer formlen.<br />
Vis nu, at formlen gælder for n+1 når det antages at den gælder for n.<br />
Opgave 13<br />
Vis, at vinkel<strong>sum</strong>men i en n-kant, n ≥ 3, er (n −2)·180°<br />
Opgave 14<br />
Vis, at <strong>sum</strong>men <strong>af</strong> de første n ulige tal er n 2 , altså at<br />
Opgave 15<br />
Vis, at<br />
1 2 1 2 1 2<br />
( x ) ′ = 1⋅ x⋅ x⋅... ⋅ x + x⋅1⋅ x⋅... ⋅ x + x⋅ x⋅1... ⋅ x + x⋅x⋅x⋅... ⋅ 1=<br />
nx<br />
n n−1<br />
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ (2n −1) = n 2<br />
2 n ≥ n + 1, n = 1, 2, 3, ...
Change language