Indledning: Opdagelsen af brydningsloven Empiri ... - Gymportalen

Hvad er matematik? C, i-bog 

ISBN 978 87 7066 499 8 

Projekter: Kapitel 8 

Indledning: Opdagelsen af brydningsloven 

(Kilde: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geoopt/refr2.html) 

Brydningsloven har en lang historie bag sig: Optikken og herunder brydningen af lys spiller en rolle i 

astronomien – de ældste kendte data for lysbrydningsforsøg stammer fra Ptolemaios. Arabiske 

videnskabsmænd gættede brydningsloven omkring år 1000, men deres gæt gik tabt, så vi skal frem til 1600tallet, 

før der for alvor kom styr på sagerne. 

Når lyset brydes i et medium, ændres udbredelsesretningen. Der er tradition for at indføre et indfaldslod, 

der står vinkelret på den brydende kant (på samme måde som et lod står vinkelret på vandret). Vinklen 

mellem den indfaldende stråle og indfaldsloddet kaldes indfaldsvinklen i , og vinklen mellem den brudte 

stråle og indfaldsloddet kaldes brydningsvinklen b. Det er sammenhængen mellem disse to vinkler, vi 

forsøger at finde. Brydningsloven var specielt interessant i 1600-tallet på grund af opfindelsen af kikkerten, 

og det deraf følgende problem om hvordan linser skal slibes for at sikre den bedste lysgang gennem 

kikkerten. 

Den engelske matematiker og naturvidenskabsmand Harriot er den første, det lykkes for i 1602, men 

resultaterne bliver ikke offentliggjort. Den hollandske fysiker Snell gentager succesen i 1621 (samme år som 

Harriot døde), men resultaterne bliver stadig ikke offentliggjort. Så vi skal frem til 1637, før den franske 

filosof, matematiker og naturvidenskabsmand Descartes finder og endelig offentliggør brydningsloven i sit 

værk om optik. Det er Descartes’ udledning og tolkning af brydningsloven, vi skal arbejde med i dette 

projekt. 

Empiri: Geometrien bag lysbrydningen 

Her vil vi illustrere Descartes’ opdagelse ved brug af Ptolemaios data for brydning af lys i vand og glas (hvis 

du har dine egne data – og de er rimeligt gode! – kan du bruge dem i stedet for. Du kan her finde en video 

med eksperimentet og derved selv kontrollere Ptolemaios’ eksperiment): 

© 2011 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: info@lru.dk 

Luft 

Vand 

Indfaldsvinkel 

i 

Indfaldslod 

b 

Brydningsvinkel 

1


ISBN 978 87 7066 499 8 


Indfaldsvinklen i Brydningsvinklen b for Brydningsvinklen b for Brydningsvinklen b for 

(målt i grader) overgangen luft – vand overgangen luft – glas overgangen vand – glas 

0 0.0 0.0 0.0 

10 8.0 7.0 9.5 

20 15.5 13.5 18.5 

30 22.5 19.5 27.0 

40 29.0 25.0 35.0 

50 35.0 30.0 42.5 

60 40.5 34.5 49.5 

70 45.5 38.5 56.0 

80 50.0 42.0 62.0 

Du kan hente tabellen her. 

a) Kopier tabellen ind i dit regneark, og fremstil en graf over sammenhængen mellem indfaldsvinklen i og 

de to brydningsvinkler bluft-vand, bluft-glas og bvand-glas. 

Du må gerne prøve, om du kan finde en simpel regressionsmodel, der passer med dataene. Vi skal 

vende tilbage til dette i B-bogen. 

Her vil vi i overensstemmelse med Descartes’ metode søge en geometrisk lovmæssighed, der kan gengive 

de ovennævnte data rimeligt! Vi bruger da en model for lysets brydning fra luft til vand, der går tilbage til 

perspektivisterne, og som var velkendt for såvel Harriot som Descartes: 

Luft 

Vand 

P 

Lysstrålen kommer ind langs strålen PC og ud langs den brudte stråle CQ. Indfaldsvinklen i måles som 

vinklen NCP, og brydningsvinklen b måles som vinklen SCQ. Hvis strålen sendes baglæns ind, følger den den 

samme bane, bare baglæns. Hvis en genstand placeres i vandet ved Q, vil den derfor ses i retningen PC. Vi 

forlænger nu linjestykket PC til det såkaldte knækpunkt K, der repræsenterer den retning, vi ser genstanden 

i. Knækpunktet K kan da fx konstrueres som skæringen mellem den forlængede stråle PC og den lodrette 

linje gennem Q (dvs. linjen parallel med indfaldsloddet). 

b) Overfør dataene fra tabellen til dit dynamiske geometriprogram, og konstruer ved hjælp heraf de 

indfaldende stråler, de brudte stråler og knækpunkterne. Hvilken kurve synes knækpunkterne at følge? 


i 

N 

C 

S 

Indfaldslod 

b 

K 

Q 

2


ISBN 978 87 7066 499 8 


c) Gentag øvelsen med de to sidste serier af brydningsdata fra Ptolemaios. 

d) Prøv nu, om du kan formulere brydningsloven geometrisk, dvs. om du kan skrive en 

konstruktionsforklaring for konstruktionen af den brudte stråle for et vilkårligt punkt P på den øverste 

halvbue. 

e) Konstruer en dynamisk model for lysets brydning, og find på basis af målinger i tabellen de forventede 

værdier for brydningsvinklerne. Hvordan stemmer de overens med Ptolemaios’ data? 

Teori I: Brydningsloven på traditionel form: Sinus på arbejde 

Descartes fulgte som sine samtidige en geometrisk sprogbrug, hvor brydningsloven alene blev formuleret 

ud fra et konstant forhold mellem visse linjestykker: 

Luft 

Vand 

I Descartes’ version er der to cirkler med radierne R og r. 

P 

r R 

f) Gør rede for, at forholdet mellem linjestykkerne PP0 og KK0 er konstant (hvor P0 er projektionen af 

indfaldspunktet P på indfaldsloddet, og K0 er projektionen af knækpunktet K på indfaldsloddet). 

g) Gør rede for, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) er konstant, idet i er indfaldsvinklen, og b er 

brydningsvinklen. Sammenhold Descartes’ formulering af brydningsloven med den formulering, du har i 

din fysikbog. 


i 

K0 

Q0 

N 

P0 

C 

S 

Indfaldslod 

b 

K 

Q 

3


ISBN 978 87 7066 499 8 


Teori II: Descartes’ forklaring af brydningsloven 

Descartes forsøgte også at begrunde brydningsloven ud fra grundlæggende fysiske principper. Som Newton 

var han overbevist om, at lyset bestod af en strøm af partikler. Men i modsætning til Newton var han af den 

overbevisning, at lyset udbredte sig instantant, dvs. med uendelig høj udbredelseshastighed. Lyset 

ankommer altså samtidigt med, at det bliver udsendt. Descartes kendte ikke Rømers påvisning af lysets 

tøven fra 1675. Vi skal frem til Einsteins relativitetsteori, før vi bliver i stand til at rumme begge opfattelser 

af lysets udbredelse som værende både instantan og tøvende. I stedet forsøgte Descartes sig med en 

berømt analogi, hvor lyspartiklen sammenlignes med en tennisbold, som først skydes ned mod jorden for 

at springe op igen (ligesom lyspartiklen i et spejl) og dernæst skydes ned mod et vandret klæde, som 

bolden formår at gennemtrænge med tab af hastighed til følge (ligesom en lyspartikel, der brydes ved 

overgangen mellem vand og luft). Her følger det centrale uddrag: 

Andet foredrag 

Om Lysets Brydning 

... Vi kommer nu til lysets brydning. Lad os først antage, at bolden der drives frem fra A til B ikke 

længere rammer jorden i punktet B, men i stedet rammer et klæde CBE, som er så skrøbeligt og løst 

vævet, at bolden har kraft nok til at få klædet til at briste og passere gennem klædet, samtidigt med at 

det kun mister en brøkdel af sin fart, lad os fx sige halvdelen. Ud fra det vil vi finde den vej bolden følger 

og tager endnu engang i betragtning, at såvel dens bevægelse som dens tilbøjelighed til at bevæge sig i 

den ene retning frem for den anden er forskellige, hvoraf det følger at størrelsen af disse [to faktorer] 

må undersøges særskilt. Og lad os også tage i betragtning at af de to dele, som vi kan opfatte dens 

tilbøjelighed til at være sammensat af, er det kun den, der går i retningen fra høj til lav, der kan ændres 

ved mødet med klædet; og at dens tilskyndelse til at bevæge sig fra venstre mod højre må være 

uforandret, for klædet kan ikke yde nogen modstand mod bevægelsen i denne retning. Ved at trække 

cirklen AFD med centrum i B og derefter nedfælde de vinkelrette AC, HB og FE på linjen CBE på en 


4


ISBN 978 87 7066 499 8 


sådan måde, at der er dobbelt så stor afstand mellem FE og HB, som mellem HB og AC, ser vi at bolden 

må fortsætte i retningen mod punktet I. For eftersom den mister halvdelen af sin fart ved mødet med 

klædet CBE, må den tilbringe dobbelt så meget tid i den nederste del af bevægelsen fra B til periferien 

AFD, som det tog at komme fra A til B. Og eftersom den ikke mister sin tilskyndelse til at bevæge sig fra 

venstre mod højre, må den i det dobbelte tidsrum af hvad det tog at komme fra linjen AC til HB, 

bevæge sig dobbelt så langt i samme retning, og vil derfor nødvendigvis ankomme til et punkt på den 

rette linje FE, samtidigt med at den ankommer til et punkt på cirkelperiferien AFD. Men det er umuligt, 

hvis den ikke ankommer til punktet I eftersom det er det eneste punkt hvor cirklen AFD skærer den rette 

linje FE under klædet CBE. ... 

h) Konstruer selv en præcis og dynamisk udgave af diagrammet i Descartes’ tekst. Gør rede for, at der er 

en maksimal/kritisk indfaldsvinkel – indfaldsvinkler, der er større end denne, fører ikke længere til 

brydning (totalreflektion). 

i) Gå Descartes’ argument igennem i detaljer, herunder hvordan Descartes opdeler boldens skrå 

bevægelse i en vandret bevægelse og en lodret bevægelse: Hvordan opfører de to komponenter sig ved 

passagen af klædet? 

j) Gør rede for, at forholdet mellem AH og HF må være konstant ifølge Descartes’ analogi. Gør rede for, at 

det har som konsekvens, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) også må være konstant. Hvordan er 

konstanten knyttet til tennisboldens fart før og efter mødet med klædet? 

k) Tilføj den cirkel, der er knyttet til knækpunkterne i Descartes’ diagram. Gør rede for, at Descartes’ 

diagram er ækvivalent med den dobbelt-cirkel-konstruktion, han tidligere har brugt. 

l) I dag benyttes typisk en model for lys, hvor lyset udbreder sig som en bølge, i stedet for den ovenfor 

nævnte model. Også her kan brydningsloven udledes som følge af en hastighedsændring, når lysbølgen 

passerer det brydende medium. Se evt. i din fysikbog for at finde ud af hvordan! Hvilken karakteristisk 

forskel for udbredelseshastighederne er der mellem de to modeller for lysets brydning: 

partikelmodellen og bølgemodellen? 

Bemærkning: På Descartes’ tid foretrak man geometriske beskrivelser frem for formler: Det samme gjaldt 

Descartes, fordi det geometriske diagram rummede langt større forklaringskraft end formlen! Vi finder 

derfor ikke brydningsloven skrevet op som en formel hos Descartes. I stedet formulerer han den således: 

… Det er nødvendigt at sikre sig at sammenhængen findes ved måling af størrelserne for linjestykker 

som CB eller AH, og EB eller IG, og tilsvarende; ikke ved måling af vinkler som ABH eller GBI, og 

endnu værre ved vinkler som DBI, der kaldes afvigelsesvinklen. For brøken eller forholdet dannet ud fra 

disse vinkler vareirer med hældningerne for den indfaldende stråler; hvorimod forholdet mellem 

linjestykkerne AH og IG, eller tilsvarende, forbliver de samme i alle brydninger forsaget af de samme 

medier. … 

m) Forklar ud fra Descartes figur, hvad meningen med denne formulering er. 


5


ISBN 978 87 7066 499 8 


Efterskrift: Descartes’ udledning af brydningsloven i 1637 blev udsat for hård kritik. Og da de data, han 

benyttede, heller ikke var alt for præcise, herskede der et stykke tid endnu en del usikkerhed omkring 

brydningsloven. Denne usikkerhed blev først fjernet, da man dels fik bedre argumenter for brydningsloven, 

ikke mindst med Newtons mekaniske model for lysets udbredelse (baseret på hans Principia fra 1689) og 

Huygens bølgemodel for lysets udbredelse (offentliggjort i 1690), og dels fik mere præcise data, Gregory 

(1663), hvorfra det følgende uddrag er hentet: 

”Men sandheden af denne sætning 1 har stået klart i vores mange forsøg: ligesom den vil være 

indlysende fra dette ene eksempel, som vi fra vores brydningsvinkler har målt for kildevand i vores 

ungdom; den er troværdig i følge vores første problemstilling og præcis nok (på grund af instrumentets 

størrelse), for vinkler i vandet på 10°, 20°, 30°, 40° og 45°. Hvis disse meget omhyggelige målinger ikke i 

sandhed er tilfredsstillende, så kom an matematikere! Og bekræft denne yderst smukke forestilling om 

brydningen med mere subtile målinger.” 

Indfaldsvinkel i Brydningsvinkel b 

13°28' 10 

26°48' 20 

41°50' 30 

59°12' 40 

71°20' 45 

Gregorys målinger 2 for brydning i kildevand. Læg mærke til, at han har byttet om på vinklernes rolle og 

ladet brydningsvinklen være udgangspunktet for målingen i modsætning til fx Ptolemaios, der lod 

indfaldsvinklen være udgangspunktet for målingen. 

n) Undersøg, i hvilket omfang Gregorys data giver en bedre retfærdiggørelse af brydningsloven end 

Ptolemaios’ data. 

1 Sætningen er ikke brydningsloven direkte, men bygger på den. 

2 Gregorys tabel giver faktisk ikke brydningsvinklen, men i stedet den såkaldte afbøjningsvinkel, som er forskellen 

mellem indfaldsvinkel og brydningsvinkel. 


6

Indledning: Opdagelsen af brydningsloven Empiri ... - Gymportalen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?