Lektion 9 Eksempler.pdf

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Lektion 9 – Statistik enkeltobservationer
Middelværdi med mere
Hyppigheds- og frekvens-tabeller
Diagrammer
Hvilket diagram er bedst?
Boxplot
Lektion 9 Side 1

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel
at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik.
Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV.
Du skal:
- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer.
- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger.
Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at:
En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i
en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige:
I gennemsnit er temperaturen meget behagelig.
Middelværdi med mere
Eksempel på opgave
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger.
Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag o.s.v
Her er alle svarene:
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1
Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.
Find typetal og middelværdi.
Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag.
Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag.
Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 1 4 fag.
Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag.
Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får:
3 5 4
18
4 1 57
18
3,
2 fag pr. kursist.
Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme.
Lektion 9 Side 2

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Hyppigheds- og frekvens-tabeller
Eksempel på opgave (fortsat)
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.
Svarene er:
3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1
Lav en tabel over hyppighed og frekvens.
Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v.
Man får:
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt
Hyppighed 4 1 4 6 3 18
I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister.
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.
4 100
Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er 22%
.
18
Tabellen udviddes og man får:
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt
Hyppighed 4 1 4 6 3 18
Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100%
I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med,
men lad være med at skrive hele rækken af decimaler.
I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent.
Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.
Lektion 9 Side 3

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Diagrammer
Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og et kurvediagram.
Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC.
Eksempel på opgave (fortsat)
På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.
Svarene er vist i tabellen:
Antal fag 1 2 3 4 5 I alt
Hyppighed 4 1 4 6 3 18
Lav et pindediagram over hyppighederne.
Pindediagrammet kan se således ud:
Hyppighed
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
Antal fag
Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden.
Lektion 9 Side 4

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Eksempel på opgave
Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver
spurgt om, hvorledes de kommer til VUC.
Svarene er vist i tabellen.
Lav et cirkeldiagram over tallene
En hel cirkel er 360º (360 grader).
Transport-
middel
Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”. En for hver transportform.
Lagkagestykket for Til fods skal udgøre
18
4 360
80º
4 af 360º: Man får: 18
De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter.
Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser).
Antal
personer
Til fods 4
Cykel 6
Bus 3
Bil 5
I alt 18
Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler.
Cykel
33%
Til fods
Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over.
Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene.
Bus
17%
Lektion 9 Side 5
22%
Bil
28%
Til fods

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Eksempel på opgave
I august starter der 18 kursister på et VUC-hold.
I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe.
Tabellen viser antal kursister måned for måned.
Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj
Antal
kursister
Lav en kurve over tallene.
18 21 20 17 16 22 18 17 16 14
Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud:
Antal kursister
25
20
15
10
5
0
Aug.
Hvilket diagram er bedst?
Sept.
Okt.
Nov.
Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer.
Men her er et par tommelfinger-regler.
Kurvediagrammer er gode, når man skal vise, noget der ændrer sig med tiden
Pindediagrammer giver et godt billede af, hvor store en række tal er i forhold til hinanden.
Cirkeldiagrammer giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele.
Dec.
Måned
Lektion 9 Side 6
Jan.
Feb.
Marts
April
Maj

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Median, kvartil og boksplot
Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse.
Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der syv ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
98, 108, 119, 124, 129, 156 og 175.
Hvad er median-lønnen?
Når der er et ulige antal lønninger,
er medianen det midterste tal.
På en arbejdsplads er der seks ansatte.
De får disse lønninger (kr./time):
102, 117, 128, 132, 134 og 153.
Hvad er median-lønnen?
Når der er et lige antal lønninger, er medianen
midt imellem de to midterste tal.
98 108 119 124 129 156 175 102 117 128 132 134 153
Median-lønnen bliver derfor 124 kr./time Tallet midt imellem 128 og 132 er 130.
Median-lønnen bliver derfor 130 kr./time.
128 132
Tallet kan evt. beregnes: 130
2
I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst
lønnede halvdel af de ansatte.
Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 25%. Man taler om 1. kvartil, 2. kvartil og 3. kvartil.
1. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.
3. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.
2. kvartil er det samme som medianen.
Eksempel på opgave
Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på 11 biler:
98, 80, 79, 82, 92, 85, 81, 78, 87, 105 og 78.
Hvad er median-hastigheden for bilerne?
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?
Tallene skrives først op efter størrelse:
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Medianen findes som det midterste tal: 82 km/time
Lektion 9 Side 7

Matematik på Åbent VUC Eksempler
1. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er under medianen.
3. kvartil findes på samme måde
som medianen, men man kikker kun
på de tal, som er over medianen.
78 78 79 80 81 82 85 97 92 98 105
Man får, at 1. kvartil er 79 km/time, og 3. kvartil er 92 km/time
Eksempel på opgave
På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er:
205, 192, 188, 198, 210, 179, 207 og 201.
Hvad er median-højden for spillerne?
Hvad er 1. kvartil og 3. kvartil?
Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist:
179 188 192 198 201 205 207 210
188 192
2
190
198 201
2
Man får: 1. kvartil er 190 cm. Medianen er 199,5 cm. 3. kvartil er 206 cm
Median og kvartiler kan defineres på flere måder
199,
5
Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal.
205
207
2
Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder:
- Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (50%) af tallene.
- 1. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (25%) af tallene.
- 3. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (75%) af tallene.
Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man,
at 1. kvartil er 188 cm, medianen er 198 cm og 3. kvartil er 205 cm. Tænk selv over hvorfor!
I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte,
højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene.
Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater.
I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler,
når man beskriver meget store mængder af tal. Fx lønningerne for alle lærere i Danmark
eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store,
har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger.
Lektion 9 Side 8
206

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet.
Eksempler på opgaver
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
100, 140, 150, 160 og 170.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
På en arbejdsplads er der
fem ansatte, som får disse
lønninger (kr./time):
130, 140, 150, 160 og 200.
Hvad er median-lønnen?
Hvad er middelværdien?
Median-lønnen er 150 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse.
Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får:
130
140 150
5
160 170
750
5
150 kr.
100
140 150
5
160 170
720
5
144 kr.
140 150
5
160
780
5
156 kr.
Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om.
Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede,
påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien.
Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot.
Eksempel på opgave
Tabellen viser resultatet af en
undersøgelse af prisen på en liter
letmælk i en række butikker.
Lav et boksplot ud fra tallene.
Man laver et boksplot i et
koordinatsystem som vist.
Man markerer først medianen
og de to kvartiler og tegner en ”boks”.
Derefter markerer man
mindste-værdi og største-værdi,
og tegner to linje-stykker.
Alle boksplottets fire vandrette
dele svarer til 25% af mælkepriserne.
Mindste-
værdi
Lektion 9 Side 9
130
200
1. kvartil Median 2. kvartil Størsteværdi
3,95 kr. 5,75 kr. 7,20 kr. 8, 25 kr. 9,95 kr.
Mindste-værdi 1. kvartil median 3. kvartil Største-værdi
3 4 5 6 7 8 9 10 11

Matematik på Åbent VUC Eksempler
Eksempel på opgave
Boksplottet viser højdefordelingen
i cm for en gruppe mænd.
Aflæs mindste-værdi, største-værdi,
median og kvartiler.
Fortæl lidt om, hvad disse tal
viser om mændenes højde.
Mindste-værdien er 158 cm. Største-værdien er 211 cm.
Median-højden er 181 cm. 1. kvartil er 175 cm, og 3. kvartil er 187 cm.
Tallene viser (fx), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på
187 – 175 = 12 cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 211 – 158 = 53 cm.
15
15
150 160 170 180 190 200 210 220
Sådan findes kvartilerne, hvis der er et ulige antal observationer
16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 50 52 62 67 70 71
Sådan findes kvartilerne, hvis der er et lige antal observationer
16 23 27 27 36 39 47 48 48 49 50 52 62 67 70
Lektion 9 Side 10