Lektion 7s – Funktioner - supplerende eksempler

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Lektion 7s – Funktioner - supplerende eksempler
Oversigt over forskellige typer af funktioner
Omvendt proportionalitet og hyperbler
2.gradsfunktioner og parabler
Eksponentialfunktioner
Potensfunktioner
Lektion 7s Side 1

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Oversigt over forskellige typer af funktioner
Du skal kende disse funktionstyper. Den første type er grundigt omtalt på de foregående sider.
Lineære funktioner kan skrives på formen: y a x b
- Graferne er rette linier.
- a er hældningskoefficient, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er.
Hvis a er positiv hælder linien opad, hvis a er negativ hælder den nedad.
- b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen.
- Hvis funktionen kan skrives på formen: y
så er x og y ligefrem proportionale.
a x (altså b = 0),
De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider.
Hyperbler kan skrives på formen: y
a
x c
b
- Graferne består af to adskilte symmetriske buer (her er kun vist den ene).
- a fortæller, hvor meget buerne krummer.
- b og c fortæller, hvor grafen er placeret.
a
- Hvis funktionen kan skrives y så er x og y omvendt proportionale.
x
2
2.gradsfunktioner er funktioner på formen: y a x b x c
- Graferne kaldes parabler og er symmetriske buer, med et toppunkt
og en lodret symmetriakse.
- a bestemmer parablens form.
Hvis a er positiv, vender "benene" opad, hvis a er negativ, vender de nedad.
Jo "større" a er (uanset fortegn), jo mere "spids" er parablen.
- b og c bestemmer grafens placering, men sammenhængen er kompliceret.
Eksponentialfunktioner er funktioner på formen:
Funktionerne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig
med et bestemt antal procent.
- Graferne er bløde buer.
- a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan buen krummer.
Hvis a > 1 krummer grafen opad, hvis a < 1 krummer grafen nedad.
- b fortæller hvor grafen skærer y-aksen.
Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer.
Lektion 7s Side 2
y
b
x
a

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Omvendt proportionalitet og hyperbler
Eksempel på opgave
Et redskabsskur skal være 16 m 2 og have form som et rektangel eller et kvadrat.
Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder.
Opstil også en funktion, der viser sammenhængen.
Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for x og y, må der skulle gælde at: x y 16.
Det kan omskrives til funktionsforskriften: y
16
, og man kan lave en tabel som denne:
x
x 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
y 16,00 8,00 5,33 4,00 3,20 2,67 2,29 2,00 1,60 1,33 1,14 1,00
Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m x 16 m.
Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem x og y.
Regnemæssigt kan man sagtens bruge x-værdier mindre end 1 og større end 16, men man
kan aldrig bruge 0 som x-værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder.
Både tabel og graf er symmetriske.
Du kan fx finde tal-parret (2,00;8,00)
i den ene ende af både tabel og graf,
og du kan finde det modsatte talpar
(8,00;2,00) i den anden ende.
Der eneste grund til, at der er lidt
længere mellem x-værdierne sidst i
tabellen er, at grafen her er fladere og
lettere at tegne. Men der er ingen
faste regler for valg af x-værdier.
Der gælder at:
- y-værdien bliver halveret, når
når x-værdien bliver fordoblet.
- y-værdien falder til en tredjedel,
når x-værdien bliver tredoblet o.s.v.
Denne sammenhæng mellem x og y
kaldes omvendt proportionalitet.
15
10
5
0
0 5 10 15
a
Funktioner der kan skrives på formen y kaldes omvendt proportionale funktioner.
x
Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover.
Lektion 7s Side 3

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Rent praktisk giver negative tal ingen mening i eksemplet med redskabsskuret,
men rent regnemæssigt kan man godt indsætte negative x-værdier i funktionen:
Man får en tabel som denne (husk, at 0 ikke kan bruges som x-værdi):
x … -12,0 -8,0 -6,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 12,0 …
y … -1,3 -2,0 -2,7 -4,0 -5,3 -8,0 -16,0 16,0 8,0 5,3 4,0 2,7 2,0 1,3 …
Herunder er grafen for
16
y indtegnet sammen med grafen for
x
4
y (stiplet graf).
x
Hyperbler består altid af to grene som vist herover, og de har altid to symmetri-akser.
Ofte tegner man dog kun den ene gren, og symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt
den samme inddeling på begge tal-akser.
Hvis man tegner grafer for forskellige hyperbler, vil man se at:
- hvis a er lille, vil grafen være tæt på tal-akserne.
- hvis a er stor, vil grafen være langt fra tal-akserne.
- hvis a er negativ vil grafen "vende rundt", således at den venstre gren
ligger over x-aksen, og den højre gren ligger under x-aksen.
15
10
5
0
-15 -10 -5 0 5 10 15
-5
-10
-15
Lektion 7s Side 4
y
16
x
Husk at funktionsforskriften
altid er:
y
a
x

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
En taxa-vognmand tager 16 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km.
Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem antal km (x) og prisen pr. km (y).
Opstil også en funktion, der viser sammenhængen.
Eksemplet ligner mange typiske opgaver med lineære funktioner. Men i disse opgaver er
y den samlede pris. Her er y prisen pr. km, og så bliver graf og funktion meget anderledes.
36
Hvis man kører 4 km, bliver den samlede pris 16 5 4 = 36 kr. Prisen pr. km bliver = 9 kr.
4
På den måde kan man lave en tabel:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16
y 21,00 13,00 10,33 9,00 8,20 7,67 7,29 7,00 6,60 6,33 6,14 6,00
Grafen ser ud som vist til højre:
Prisen pr. km. kan findes således:
- først deles startgebyret på 16 kr.
ud på det kørte antal km.
- derefter lægges den faste km-pris
på 5 kr. oveni.
Derfor kan man opstille denne
funktionsforskrift:
y
16
x
5
Både tabel og graf er ligner meget
tabellen og grafen fra eksemplet
med haveskuret på side 56c.
x-værdierne er de samme og alle
y-værdierne er præcis 5 større.
Denne gang er x og y ikke
omvendt proportionale, men
grafen kaldes stadig en hyperbel.
Grafen har præcis sammen form som
før, men den er parallelforskudt opad
i koordinatsystemet.
20
15
10
Grafen for alle funktioner, der kan skrives på formen y
Størrelsen af tallet a bestemmer hyperblens form.
a
x
b , er hyperbler.
5
0
0 5 10 15
Lektion 7s Side 5

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
2.gradsfunktioner og parabler
2
Funktioner, der kan skrives på formen y a x b x c kaldes 2.gradsfunktioner.
Graferne for alle 2.gradsfunktioner ligner hinanden og kaldes parabler
Her er et par eksempler på 2.gradsfunktioner:
y
Bemærk at a ikke må være 0.
Eksempel på opgave
3
x
Lav en tabel og en graf for funktionen: y = x 2
Tabellen kommer til at se således ud:
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
Grafen ser ud som vist til højre:
Da mange af y-værdierne er store,
er hele tabellen ikke vist på grafen.
2
Funktionen y = x 2 er en slags "standard-
2.gradsfunktion", og grafen for funktionen
er en "standard-parabel".
Læg mærke til, at både tabel og graf er
symmetriske omkring x = 0 (y-aksen).
y-aksen er symetri-akse for parablen.
Punktet (0,0) er top-punkt for parablen.
Alle andre parabler har også et toppunkt,
og de er symmetriske som grafen til højre.
2
x
4
a = 3, b = -2 og c = 4
y
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
Lektion 7s Side 6
2
a = 1, b = 0 og c = -2
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
y
x
2
4x
a = -1, b = 4 og c = 0

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
Lav tabeller og grafer for disse funktioner:
f(x)
2x
2
6
g(x)
Tabellen kommer til at se således ud (kontroller selv nogle af tallene):
2x
2
Lektion 7s Side 7
8x
3
h(x)
0,
5x
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) -44 -26 -12 -2 4 6 4 -2 -12 -26 -44
g(x) 93 67 45 27 13 3 -3 -5 -3 3 13
h(x) 15,5 10,0 5,5 2,0 -0,5 -2,0 -2,5 -2,0 -0,5 2,0 5,5
Graferne ser ud som vist til højre.
Når man sætter x-værdier ind i 2.grads-
funktioner, skal man være omhyggelig.
Især hvis x-værdierne er negative,
eller hvis a- og b-værdierne i
funktionsforskriften er negative.
Her er et par regne-eksempler:
f(
h(
1)
3)
2
2
2
0,
5
0,
5
4,
5
(
1
6
(
9
1)
6
2
3)
4
3 - 2
3 - 2
6
(
5,
5
3)
Læg mærke til, at både tabeller og
grafer er symmetriske lige som i
eksemplet på forrige side.
Men det er kun f, der er symmetrisk
om x = 0 (y-aksen). Funktionerne
g og h har andre symmetri-akser.
Læg også mærke til, at:
- graferne for f og g har samme facon.
De vender blot hver sin vej.
- graferne for f og g er meget "spidse",
mens grafen for h er lidt mere "flad".
2
2
h(x)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
f(x)
g(x)
2
x
2

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Grafen for en 2.gradsfunktion (funktion af typen y
med toppunkt og en lodret symmetri-akse.
a
2
x b x c ) er en symmetrisk parabel
Tallet a bestemmer parablens form.
- hvis a er "stort" (uanset fortegn) så er parablen "spids"
- hvis a er "lille" (uanset fortegn), så er parablen "flad"
- hvis a er positivt, har parablen "benene" opad
- hvis a er negativt, har parablen "benene" nedad
Kontroller selv, at reglerne ovenfor passer på eksemplerne på de sidste par sider.
x-værdien til en parabels toppunkt kan findes således:
Eksempler på opgaver
Find toppunkterne til disse parabler:
f(x)
x top
y
top
2x
b
2a
f(0)
2
2 2 2
g(x) 2x 8x 3
h(x) 0,
5x
x 2
0
2
6
2
0
( 2)
6
6
0
x top
y
top
b
2a
( 8)
2 2
I eksemplet ovenover bruges de sammen parabler, som er tegnet på forrige side.
Kontroller selv at de beregnede toppunkter passer med tegningen.
Hvis man skal tabel-lægge en 2.gradsfunktion og tegne den tilhørende parabel,
er det ofte en fordel først at finde top-punktet. Når man kender det, er det lettere
at lave tabellen og tegne grafen.
f(2)
Der findes også en særlig metode til at finde de steder, hvor en parabel skærer
x-aksen (parablens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgaver.
Til sidst en vigtig oplysning:
2
8
2
2
16
Lektion 7s Side 8
8
3
2
x top
3
5
8
4
b
2a
2
x top
b
2a
0,5 -1
- 2
( 1)
2 0,
5
Parabler og 2.gradsfunktioner kan bruges til at beskrive mange ting fra den virkelige verden.
Det kan du se eksempler på i de tilhørende opgaver. Men sammenhængen mellem virkelighed
og matematik er ikke så nem at forstå. Derfor er disse eksempler lavet som ren "tal-gymnastik".
y
top
f(1)
0,
5
1
2
1
2
-2,5
1
1
1

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksponentialfunktioner
Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på.
Eksempel på opgave
Anna får en timeløn på 80 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 15% de kommende år.
Børge får en timeløn på 105 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år.
Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år.
Den letteste måde at lægge 15% til et tal er ved at gange tallet med 1,15. Derfor får man:
Annas løn efter 1 år: 80 , 00 1,
15 = 92,00 kr.
Annas løn efter 2 år: 92 , 00 1,
15 = 105,80 kr. eller 80 , 00 1,
15 1,
15
Annas løn efter 3 år: 105 , 80 1,
15 = 121,67 kr. eller 80 , 00 1,
15 1,
15 1,
15.
Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,08. I alt får man:
2
80 1,
15 = 105,80 kr.
3
80 1,
15 = 121,67 kr.
Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Annas løn 80,00 92,00 105,80 121,67 139,92 160,91 185,04 212,80 244,72
Børges løn 105,00 113,40 122,47 132,27 142,85 154,28 166,62 179,95 194,35
Grafen ser ud som vist til højre:
Hvis x er antal år regnet fra "nu",
og y er timelønnen, kan man opstille
denne funktion for Anna:
y
80
x
1,15
og denne funktion for Børge:
y
105
x
1,08
Bemærk at funktionerne godt nok passer
0
for x = 0 fordi: 80 1,15 80 1 80 og
250
200
150
1
for x = 1 fordi: 80 1,15 80 1,
15 92 .
100
Når en størrelse regelmæssigt vokser
(eller aftager) med et bestemt antal procent,
siger man, at den vokser eksponentielt.
Funktionerne ovenfor er eksempler
på eksponentialfunktioner.
Graferne buer mere og mere opad fordi
50
lønstigningerne bliver større og større
målt i kr. Graferne er ikke rette linier.
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Lektion 7s Side 9

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Funktioner, der kan skrives på formen
x
y b a kaldes eksponentialfunktioner.
Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig
med et bestemt antal procent.
- b er startværdien. På forrige side startlønningerne.
- a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". Fx 1 + 15% = 1 + 0,15 = 1,15
Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen.
Den skrives normalt på formen
n
K n K 0 (1 r) Den er omtalt i et andet modul.
De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk.
Eksempel på opgave
En bil koster som ny 160.000 kr. Bilens værdien falder med 25% om året
Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år.
Man trækker 25% fra et tal ved at gange tallet med 0,75. Man beholder 100% - 25% = 75%.
Værdi efter 1 år: 160 . 000 0,
75 = 120.000 kr.
Værdi efter 2 år: 120 . 000 0,
75 = 90.000 kr. eller 160.
000 0,
75 0,
75
Funktionsforskriften må være
Tabellen kommer til at se således ud:
2
160 . 000 0,
75 = 90.000 kr.
x
y 160.
000 0,
75 , hvor x er antal år, og y er bilens værdi.
Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6
Bilens værdi 160.000 120.000 90.000 67.500 50.625 37.969 28.477
Grafen ser ud som vist til højre:
x
Funktionen y 160.
000 0,
75 er også
en eksponentialfunktion, men der er tale
om en negativ eksponentiel vækst.
Grafen buer mindre og mindre nedad,
fordi det årlige værditab bliver mindre
og mindre målt i kr.
En eksponentialfunktion skrevet
på formen y b
x
a beskriver:
- en positiv vækst når a > 1
- en negativ vækst når a < 1
160.000
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
0
0 1 2 3 4 5 6
Lektion 7s Side 10

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Potensfunktioner
Funktioner der kan skrives på formen
Her er nogle eksempler på potensfunktioner:
y
a
y b x kaldes potensfunktioner.
Bemærk: Hvis b = 1 bliver b ”usynlig”. Man skriver fx sjældent
Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten.
Eksempel på opgave
3
y 1 x men kun
3
y x .
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne f(x) 0,5 x og g(x) 2 x .
Tabellen kan se således ud:
3
2
x
a = 2 og b = 3
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
f(x) 0,5 x 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32 40,5 50
2
g(x) 2 x 0 2 8 18 32 50 72 98 128 162 200
Graferne ser ud som vist til højre.
Da nogle af y-værdierne er ret store,
er hele tabellen ikke vist på graferne.
Man kan se på både tabellen og graferne:
- at begge grafer starter i (0,0)
- at begge grafer vokser
hurtigere og hurtigere
- at 2 ∙x 2 vokser hurtigst
og hele tiden ligger over 0,5 ∙ x 2 .
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),
gælder der:
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.
Jo større b (tallet man ganger med) er,
jo mere vokser funktionen.
y
3
x
a = 3 og b = 1
Lektion 7s Side 11
y
2
0,5
x
a = 0,5 og b = 2
50
40
30
20
10
0
2
y
-2
x
a = 1 og b = –2
g(x)
f(x)
0 1 2 3 4 5 6 7
2
2
0,
5
3
x
3
x

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne
Tabellen kan se således ud:
2
f(x) x og
3
g(x) x .
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
f(x) x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
3
g(x) x 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1.000
Husk at man kan finder potenser ved at
trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y x .
Graferne ser ud som vist til højre.
Da nogle af y-værdierne er meget store,
er hele tabellen ikke vist på graferne.
Man kan se på både tabellen og graferne:
- at begge grafer starter i (0,0)
- at begge grafer vokser
hurtigere og hurtigere
- at x 3 vokser hurtigere end x 2 .
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),
gælder der:
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.
Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen.
Hvis man forstørrer den nederste venstre del
af graferne op, ser de således ud:
2
1
0
f(x)
Man kan se, at
2
x
g(x)
3
x
0 1 2
3
2
g(x) x er mindre end x
f(x) i intervallet mellem 0 og 1.
Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små x-værdier mellem 0 og 1.
Lektion 7s Side 12
70
60
50
40
30
20
10
0
g(x)
3
x
f(x)
2
x
0 1 2 3 4 5 6 7

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
3
Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen π r .
V er rumfanget og r er radius.
Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius.
Lav en tabel og en graf for funktionen.
Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være 1 liter (1.000 cm 3 )?
Formlen
Altså:
4
V
3
π
3
r
3
V 4,
18879 r svarende til
svarer til en potensfunktion, hvor b π 4,18879... og a = 3.
y
4,
18879
Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede.
3
x
r (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
V (cm 3 ) 0 4,19 33,51 113,1 268,1 523,6 904,8 1437 2145
Grafen ser ud som vist til højre.
Man kan finde den radius,
der giver et rumfang
på 1.000 cm 3 på flere måder.
- Man kan aflæse på grafen, hvis man
laver en pæn graf på mm-papir.
- Hvis man tegner grafen vha. et
computer-program, har programmet
måske en ”aflæse-funktion”.
- Man kan prøve sig frem (simulering).
Man kan se ud fra tabellen,
at den rigtige radius må være
mellem 6 cm og 7 cm og sikkert
nærmest på 6 cm.
- Man kan få det helt præcise svar
ved at løse ligningen
1 .000
Man får:
4,18879 r
r
r
3
3
4,18879
3
1.000
4,18879
1.000
4,18879
3
r
1.000
3
238,
73..
6,2 cm
2000
1500
1000
500
0
V 3
Lektion 7s Side 13
4
4
3
V
4,18879
0 1 2 3 4 5 6 7 8
3
r

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Hvad betyder eksponenten?
Det lille tal kaldes eksponenten.
Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter?
Eksponenten er et helt tal og større end nul:
2
x betyder x x ,
Bemærk:
3
x betyder x x
x ,
4
x betyder x x x
1
x betyder x . Men man skriver næsten aldrig
Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal:
Du skal huske, at
1
2 x
0,5
x betyder x ,
x osv.
Lektion 7s Side 14
1
x .
1
3 0,3333.... .
x x betyder 3 x osv.
Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (fx
Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y x ) uden at tænke over betydningen.
Eksponenten er negativ:
-1
x betyder
1
1
x
1
x
Eksempel på opgave
,
1
,
x
-2
x betyder 2
1
,
x
-3
x betyder 3
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne
Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede.
-1,25
x betyder 1,25
0,5
f(x) x og
2,47
x ), generelt betyder.
1
osv.
x
1,25
g(x) 0,5 x .
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,5
f(x) x 0 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3 3,16
1,25
g(x) 0,
5 x 0 0,5 1,19 1,97 2,83 3,74 4,70 5,69 6,73 7,79 8,89
Graferne ser således ud.
Grafen for
1,25
g(x) 0,
5 x buer
kun ganske svagt opad.
Grafen ligner næsten en ret linje,
men den vokser faktisk mere og mere.
Grafen for
0,5
f(x) x buer den anden vej.
Funktionsværdien vokser mindre og mindre.
Men den kan vokse i det uendelige.
Husk på at x x
0,5
, og når x er
et stort tal, bliver x også stor.
8
6
4
2
0
4 3
g(x)
0,
5
Eksponent
1,25
x
f(x)
0,5
x
0 2 4 6 8 10

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
Lav tabel og graf for potensfunktionerne
Lektion 7s Side 15
-2
f(x) 2 x .
Husk at 2
-2
x betyder 2
1
2
eller blot .
2
2
x
x
På regnemaskinen finder man fx 2
-2
5 ved at trykke 2 x 5 ^ (-) 2 = .
0 kan ikke bruges som x-værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen.
Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede.
x 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 3 4 5 7 10
-2
f(x) 2 x 32 8 3,556 2 0,889 0,5 0,222 0,125 0,08 0,041 0,02
Grafen ser ud som vist til højre.
Når x vokser bliver f(x) mindre,
men f(x) kan aldrig blive 0.
Alle grafer for potensfunktioner
med negativ eksponent vil ligne
grafen til højre.
Jo mere negativ eksponenten er,
jo hurtigere falder funktionsværdien.
Tænk på at omvendt proportionale
funktioner også er potensfunktioner.
4
1
y kan jo fx skrives som y 4 x .
x
Grafen til højre ligner også graferne
for omvendt proportionale funktioner,
men grafen er ikke symmetrisk på
samme måde som en rigtig hyperbel.
Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige.
Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a,
men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder.
I eksemplerne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som x-værdier.
I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som x-værdi, fordi eksponenten er negativ.
Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (fx
kan man sagtens sætte negative tal ind som x-værdier.
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
2
4
y 0,3 x eller y 117
x ),

Matematik på Åbent VUC Supplerende eksempler til Trin II
Eksempel på opgave
Lav tabel og graf for funktionen
2
f(x) x .
Vi tager både negative og positive x-værdier med. Vi får:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
f(x) x 16 9 4 1 0 1 4 9 16
Grafen ser ud som vist til højre.
Den er symmetrisk og kaldes en parabel.
(0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse.
Herunder er tegnet graferne for
disse to funktioner:
g(x)
h(x)
0,
5
2
x
x
2
2
x
4
x
1,5
Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner
pga. forskrifternes form, men begge grafer
er symmetriske buer ligesom grafen for y
Alle funktioner, der kan skrives på formen
y a
2
x b x c , hvor a ≠ 0,
har den slags symmetriske grafer.
5
4
3
2
1
-2
-3
-4
-5
g(x)
-4 -3 -2
0
-1 0
-1
1 2 3 4 5
h(x)
2
0,
5
x
2
2
x
x
2
1,5
4
x
2
x
2
2
Funktioner på formen y a x b x c ,
hvor a ≠ 0, kaldes andengrads-funktioner
eller andengrads-polynomier.
Graferne kaldes parabler.
Hvis a > 0 vender parablen ”benene opad”.
Hvis a < 0 vender parablen ”benene nedad”.
Hvis (og kun hvis) b = 0 og c = 0, er funktionen
også en potensfunktion. Fx y 3
2
x
Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt.
Potensfunktionen med eksponenten 2
2
skrives normalt y b x
Andengrads-funktionen skrives
Lektion 7s Side 16
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
y
a
2
x
2
x