Lektion 7s – Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s – Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s – Funktioner - supplerende eksempler
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> <strong>–</strong> <strong>Funktioner</strong> - <strong>supplerende</strong> <strong>eksempler</strong><br />
Oversigt over forskellige typer af funktioner<br />
Omvendt proportionalitet og hyperbler<br />
2.gradsfunktioner og parabler<br />
Eksponentialfunktioner<br />
Potensfunktioner<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 1
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Oversigt over forskellige typer af funktioner<br />
Du skal kende disse funktionstyper. Den første type er grundigt omtalt på de foregående sider.<br />
Lineære funktioner kan skrives på formen: y a x b<br />
- Graferne er rette linier.<br />
- a er hældningskoefficient, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er.<br />
Hvis a er positiv hælder linien opad, hvis a er negativ hælder den nedad.<br />
- b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen.<br />
- Hvis funktionen kan skrives på formen: y<br />
så er x og y ligefrem proportionale.<br />
a x (altså b = 0),<br />
De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider.<br />
Hyperbler kan skrives på formen: y<br />
a<br />
x c<br />
b<br />
- Graferne består af to adskilte symmetriske buer (her er kun vist den ene).<br />
- a fortæller, hvor meget buerne krummer.<br />
- b og c fortæller, hvor grafen er placeret.<br />
a<br />
- Hvis funktionen kan skrives y så er x og y omvendt proportionale.<br />
x<br />
2<br />
2.gradsfunktioner er funktioner på formen: y a x b x c<br />
- Graferne kaldes parabler og er symmetriske buer, med et toppunkt<br />
og en lodret symmetriakse.<br />
- a bestemmer parablens form.<br />
Hvis a er positiv, vender "benene" opad, hvis a er negativ, vender de nedad.<br />
Jo "større" a er (uanset fortegn), jo mere "spids" er parablen.<br />
- b og c bestemmer grafens placering, men sammenhængen er kompliceret.<br />
Eksponentialfunktioner er funktioner på formen:<br />
<strong>Funktioner</strong>ne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig<br />
med et bestemt antal procent.<br />
- Graferne er bløde buer.<br />
- a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan buen krummer.<br />
Hvis a > 1 krummer grafen opad, hvis a < 1 krummer grafen nedad.<br />
- b fortæller hvor grafen skærer y-aksen.<br />
Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer.<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 2<br />
y<br />
b<br />
x<br />
a
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Omvendt proportionalitet og hyperbler<br />
Eksempel på opgave<br />
Et redskabsskur skal være 16 m 2 og have form som et rektangel eller et kvadrat.<br />
Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder.<br />
Opstil også en funktion, der viser sammenhængen.<br />
Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for x og y, må der skulle gælde at: x y 16.<br />
Det kan omskrives til funktionsforskriften: y<br />
16<br />
, og man kan lave en tabel som denne:<br />
x<br />
x 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00<br />
y 16,00 8,00 5,33 4,00 3,20 2,67 2,29 2,00 1,60 1,33 1,14 1,00<br />
Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m x 16 m.<br />
Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem x og y.<br />
Regnemæssigt kan man sagtens bruge x-værdier mindre end 1 og større end 16, men man<br />
kan aldrig bruge 0 som x-værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder.<br />
Både tabel og graf er symmetriske.<br />
Du kan fx finde tal-parret (2,00;8,00)<br />
i den ene ende af både tabel og graf,<br />
og du kan finde det modsatte talpar<br />
(8,00;2,00) i den anden ende.<br />
Der eneste grund til, at der er lidt<br />
længere mellem x-værdierne sidst i<br />
tabellen er, at grafen her er fladere og<br />
lettere at tegne. Men der er ingen<br />
faste regler for valg af x-værdier.<br />
Der gælder at:<br />
- y-værdien bliver halveret, når<br />
når x-værdien bliver fordoblet.<br />
- y-værdien falder til en tredjedel,<br />
når x-værdien bliver tredoblet o.s.v.<br />
Denne sammenhæng mellem x og y<br />
kaldes omvendt proportionalitet.<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 5 10 15<br />
a<br />
<strong>Funktioner</strong> der kan skrives på formen y kaldes omvendt proportionale funktioner.<br />
x<br />
Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover.<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 3
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Rent praktisk giver negative tal ingen mening i eksemplet med redskabsskuret,<br />
men rent regnemæssigt kan man godt indsætte negative x-værdier i funktionen:<br />
Man får en tabel som denne (husk, at 0 ikke kan bruges som x-værdi):<br />
x … -12,0 -8,0 -6,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 12,0 …<br />
y … -1,3 -2,0 -2,7 -4,0 -5,3 -8,0 -16,0 16,0 8,0 5,3 4,0 2,7 2,0 1,3 …<br />
Herunder er grafen for<br />
16<br />
y indtegnet sammen med grafen for<br />
x<br />
4<br />
y (stiplet graf).<br />
x<br />
Hyperbler består altid af to grene som vist herover, og de har altid to symmetri-akser.<br />
Ofte tegner man dog kun den ene gren, og symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt<br />
den samme inddeling på begge tal-akser.<br />
Hvis man tegner grafer for forskellige hyperbler, vil man se at:<br />
- hvis a er lille, vil grafen være tæt på tal-akserne.<br />
- hvis a er stor, vil grafen være langt fra tal-akserne.<br />
- hvis a er negativ vil grafen "vende rundt", således at den venstre gren<br />
ligger over x-aksen, og den højre gren ligger under x-aksen.<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-15 -10 -5 0 5 10 15<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 4<br />
y<br />
16<br />
x<br />
Husk at funktionsforskriften<br />
altid er:<br />
y<br />
a<br />
x
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
En taxa-vognmand tager 16 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km.<br />
Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem antal km (x) og prisen pr. km (y).<br />
Opstil også en funktion, der viser sammenhængen.<br />
Eksemplet ligner mange typiske opgaver med lineære funktioner. Men i disse opgaver er<br />
y den samlede pris. Her er y prisen pr. km, og så bliver graf og funktion meget anderledes.<br />
36<br />
Hvis man kører 4 km, bliver den samlede pris 16 5 4 = 36 kr. Prisen pr. km bliver = 9 kr.<br />
4<br />
På den måde kan man lave en tabel:<br />
x 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16<br />
y 21,00 13,00 10,33 9,00 8,20 7,67 7,29 7,00 6,60 6,33 6,14 6,00<br />
Grafen ser ud som vist til højre:<br />
Prisen pr. km. kan findes således:<br />
- først deles startgebyret på 16 kr.<br />
ud på det kørte antal km.<br />
- derefter lægges den faste km-pris<br />
på 5 kr. oveni.<br />
Derfor kan man opstille denne<br />
funktionsforskrift:<br />
y<br />
16<br />
x<br />
5<br />
Både tabel og graf er ligner meget<br />
tabellen og grafen fra eksemplet<br />
med haveskuret på side 56c.<br />
x-værdierne er de samme og alle<br />
y-værdierne er præcis 5 større.<br />
Denne gang er x og y ikke<br />
omvendt proportionale, men<br />
grafen kaldes stadig en hyperbel.<br />
Grafen har præcis sammen form som<br />
før, men den er parallelforskudt opad<br />
i koordinatsystemet.<br />
20<br />
15<br />
10<br />
Grafen for alle funktioner, der kan skrives på formen y<br />
Størrelsen af tallet a bestemmer hyperblens form.<br />
a<br />
x<br />
b , er hyperbler.<br />
5<br />
0<br />
0 5 10 15<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 5
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
2.gradsfunktioner og parabler<br />
2<br />
<strong>Funktioner</strong>, der kan skrives på formen y a x b x c kaldes 2.gradsfunktioner.<br />
Graferne for alle 2.gradsfunktioner ligner hinanden og kaldes parabler<br />
Her er et par <strong>eksempler</strong> på 2.gradsfunktioner:<br />
y<br />
Bemærk at a ikke må være 0.<br />
Eksempel på opgave<br />
3<br />
x<br />
Lav en tabel og en graf for funktionen: y = x 2<br />
Tabellen kommer til at se således ud:<br />
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25<br />
Grafen ser ud som vist til højre:<br />
Da mange af y-værdierne er store,<br />
er hele tabellen ikke vist på grafen.<br />
2<br />
Funktionen y = x 2 er en slags "standard-<br />
2.gradsfunktion", og grafen for funktionen<br />
er en "standard-parabel".<br />
Læg mærke til, at både tabel og graf er<br />
symmetriske omkring x = 0 (y-aksen).<br />
y-aksen er symetri-akse for parablen.<br />
Punktet (0,0) er top-punkt for parablen.<br />
Alle andre parabler har også et toppunkt,<br />
og de er symmetriske som grafen til højre.<br />
2<br />
x<br />
4<br />
a = 3, b = -2 og c = 4<br />
y<br />
x<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
-1<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 6<br />
2<br />
a = 1, b = 0 og c = -2<br />
2<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
y<br />
x<br />
2<br />
4x<br />
a = -1, b = 4 og c = 0
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
Lav tabeller og grafer for disse funktioner:<br />
f(x)<br />
2x<br />
2<br />
6<br />
g(x)<br />
Tabellen kommer til at se således ud (kontroller selv nogle af tallene):<br />
2x<br />
2<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 7<br />
8x<br />
3<br />
h(x)<br />
0,<br />
5x<br />
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
f(x) -44 -26 -12 -2 4 6 4 -2 -12 -26 -44<br />
g(x) 93 67 45 27 13 3 -3 -5 -3 3 13<br />
h(x) 15,5 10,0 5,5 2,0 -0,5 -2,0 -2,5 -2,0 -0,5 2,0 5,5<br />
Graferne ser ud som vist til højre.<br />
Når man sætter x-værdier ind i 2.grads-<br />
funktioner, skal man være omhyggelig.<br />
Især hvis x-værdierne er negative,<br />
eller hvis a- og b-værdierne i<br />
funktionsforskriften er negative.<br />
Her er et par regne-<strong>eksempler</strong>:<br />
f(<br />
h(<br />
1)<br />
3)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0,<br />
5<br />
0,<br />
5<br />
4,<br />
5<br />
(<br />
1<br />
6<br />
(<br />
9<br />
1)<br />
6<br />
2<br />
3)<br />
4<br />
3 - 2<br />
3 - 2<br />
6<br />
(<br />
5,<br />
5<br />
3)<br />
Læg mærke til, at både tabeller og<br />
grafer er symmetriske lige som i<br />
eksemplet på forrige side.<br />
Men det er kun f, der er symmetrisk<br />
om x = 0 (y-aksen). <strong>Funktioner</strong>ne<br />
g og h har andre symmetri-akser.<br />
Læg også mærke til, at:<br />
- graferne for f og g har samme facon.<br />
De vender blot hver sin vej.<br />
- graferne for f og g er meget "spidse",<br />
mens grafen for h er lidt mere "flad".<br />
2<br />
2<br />
h(x)<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
-6<br />
-7<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
2<br />
x<br />
2
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Grafen for en 2.gradsfunktion (funktion af typen y<br />
med toppunkt og en lodret symmetri-akse.<br />
a<br />
2<br />
x b x c ) er en symmetrisk parabel<br />
Tallet a bestemmer parablens form.<br />
- hvis a er "stort" (uanset fortegn) så er parablen "spids"<br />
- hvis a er "lille" (uanset fortegn), så er parablen "flad"<br />
- hvis a er positivt, har parablen "benene" opad<br />
- hvis a er negativt, har parablen "benene" nedad<br />
Kontroller selv, at reglerne ovenfor passer på <strong>eksempler</strong>ne på de sidste par sider.<br />
x-værdien til en parabels toppunkt kan findes således:<br />
Eksempler på opgaver<br />
Find toppunkterne til disse parabler:<br />
f(x)<br />
x top<br />
y<br />
top<br />
2x<br />
b<br />
2a<br />
f(0)<br />
2<br />
2 2 2<br />
g(x) 2x 8x 3<br />
h(x) 0,<br />
5x<br />
x 2<br />
0<br />
2<br />
6<br />
2<br />
0<br />
( 2)<br />
6<br />
6<br />
0<br />
x top<br />
y<br />
top<br />
b<br />
2a<br />
( 8)<br />
2 2<br />
I eksemplet ovenover bruges de sammen parabler, som er tegnet på forrige side.<br />
Kontroller selv at de beregnede toppunkter passer med tegningen.<br />
Hvis man skal tabel-lægge en 2.gradsfunktion og tegne den tilhørende parabel,<br />
er det ofte en fordel først at finde top-punktet. Når man kender det, er det lettere<br />
at lave tabellen og tegne grafen.<br />
f(2)<br />
Der findes også en særlig metode til at finde de steder, hvor en parabel skærer<br />
x-aksen (parablens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgaver.<br />
Til sidst en vigtig oplysning:<br />
2<br />
8<br />
2<br />
2<br />
16<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 8<br />
8<br />
3<br />
2<br />
x top<br />
3<br />
5<br />
8<br />
4<br />
b<br />
2a<br />
2<br />
x top<br />
b<br />
2a<br />
0,5 -1<br />
- 2<br />
( 1)<br />
2 0,<br />
5<br />
Parabler og 2.gradsfunktioner kan bruges til at beskrive mange ting fra den virkelige verden.<br />
Det kan du se <strong>eksempler</strong> på i de tilhørende opgaver. Men sammenhængen mellem virkelighed<br />
og matematik er ikke så nem at forstå. Derfor er disse <strong>eksempler</strong> lavet som ren "tal-gymnastik".<br />
y<br />
top<br />
f(1)<br />
0,<br />
5<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
-2,5<br />
1<br />
1<br />
1
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksponentialfunktioner<br />
Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på.<br />
Eksempel på opgave<br />
Anna får en timeløn på 80 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 15% de kommende år.<br />
Børge får en timeløn på 105 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år.<br />
Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år.<br />
Den letteste måde at lægge 15% til et tal er ved at gange tallet med 1,15. Derfor får man:<br />
Annas løn efter 1 år: 80 , 00 1,<br />
15 = 92,00 kr.<br />
Annas løn efter 2 år: 92 , 00 1,<br />
15 = 105,80 kr. eller 80 , 00 1,<br />
15 1,<br />
15<br />
Annas løn efter 3 år: 105 , 80 1,<br />
15 = 121,67 kr. eller 80 , 00 1,<br />
15 1,<br />
15 1,<br />
15.<br />
Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,08. I alt får man:<br />
2<br />
80 1,<br />
15 = 105,80 kr.<br />
3<br />
80 1,<br />
15 = 121,67 kr.<br />
Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Annas løn 80,00 92,00 105,80 121,67 139,92 160,91 185,04 212,80 244,72<br />
Børges løn 105,00 113,40 122,47 132,27 142,85 154,28 166,62 179,95 194,35<br />
Grafen ser ud som vist til højre:<br />
Hvis x er antal år regnet fra "nu",<br />
og y er timelønnen, kan man opstille<br />
denne funktion for Anna:<br />
y<br />
80<br />
x<br />
1,15<br />
og denne funktion for Børge:<br />
y<br />
105<br />
x<br />
1,08<br />
Bemærk at funktionerne godt nok passer<br />
0<br />
for x = 0 fordi: 80 1,15 80 1 80 og<br />
250<br />
200<br />
150<br />
1<br />
for x = 1 fordi: 80 1,15 80 1,<br />
15 92 .<br />
100<br />
Når en størrelse regelmæssigt vokser<br />
(eller aftager) med et bestemt antal procent,<br />
siger man, at den vokser eksponentielt.<br />
<strong>Funktioner</strong>ne ovenfor er <strong>eksempler</strong><br />
på eksponentialfunktioner.<br />
Graferne buer mere og mere opad fordi<br />
50<br />
lønstigningerne bliver større og større<br />
målt i kr. Graferne er ikke rette linier.<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 9
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
<strong>Funktioner</strong>, der kan skrives på formen<br />
x<br />
y b a kaldes eksponentialfunktioner.<br />
Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig<br />
med et bestemt antal procent.<br />
- b er startværdien. På forrige side startlønningerne.<br />
- a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". Fx 1 + 15% = 1 + 0,15 = 1,15<br />
Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen.<br />
Den skrives normalt på formen<br />
n<br />
K n K 0 (1 r) Den er omtalt i et andet modul.<br />
De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk.<br />
Eksempel på opgave<br />
En bil koster som ny 160.000 kr. Bilens værdien falder med 25% om året<br />
Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år.<br />
Man trækker 25% fra et tal ved at gange tallet med 0,75. Man beholder 100% - 25% = 75%.<br />
Værdi efter 1 år: 160 . 000 0,<br />
75 = 120.000 kr.<br />
Værdi efter 2 år: 120 . 000 0,<br />
75 = 90.000 kr. eller 160.<br />
000 0,<br />
75 0,<br />
75<br />
Funktionsforskriften må være<br />
Tabellen kommer til at se således ud:<br />
2<br />
160 . 000 0,<br />
75 = 90.000 kr.<br />
x<br />
y 160.<br />
000 0,<br />
75 , hvor x er antal år, og y er bilens værdi.<br />
Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6<br />
Bilens værdi 160.000 120.000 90.000 67.500 50.625 37.969 28.477<br />
Grafen ser ud som vist til højre:<br />
x<br />
Funktionen y 160.<br />
000 0,<br />
75 er også<br />
en eksponentialfunktion, men der er tale<br />
om en negativ eksponentiel vækst.<br />
Grafen buer mindre og mindre nedad,<br />
fordi det årlige værditab bliver mindre<br />
og mindre målt i kr.<br />
En eksponentialfunktion skrevet<br />
på formen y b<br />
x<br />
a beskriver:<br />
- en positiv vækst når a > 1<br />
- en negativ vækst når a < 1<br />
160.000<br />
140.000<br />
120.000<br />
100.000<br />
80.000<br />
60.000<br />
40.000<br />
20.000<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 10
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Potensfunktioner<br />
<strong>Funktioner</strong> der kan skrives på formen<br />
Her er nogle <strong>eksempler</strong> på potensfunktioner:<br />
y<br />
a<br />
y b x kaldes potensfunktioner.<br />
Bemærk: Hvis b = 1 bliver b ”usynlig”. Man skriver fx sjældent<br />
Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten.<br />
Eksempel på opgave<br />
3<br />
y 1 x men kun<br />
3<br />
y x .<br />
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne f(x) 0,5 x og g(x) 2 x .<br />
Tabellen kan se således ud:<br />
3<br />
2<br />
x<br />
a = 2 og b = 3<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
2<br />
f(x) 0,5 x 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 24,5 32 40,5 50<br />
2<br />
g(x) 2 x 0 2 8 18 32 50 72 98 128 162 200<br />
Graferne ser ud som vist til højre.<br />
Da nogle af y-værdierne er ret store,<br />
er hele tabellen ikke vist på graferne.<br />
Man kan se på både tabellen og graferne:<br />
- at begge grafer starter i (0,0)<br />
- at begge grafer vokser<br />
hurtigere og hurtigere<br />
- at 2 ∙x 2 vokser hurtigst<br />
og hele tiden ligger over 0,5 ∙ x 2 .<br />
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),<br />
gælder der:<br />
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.<br />
Jo større b (tallet man ganger med) er,<br />
jo mere vokser funktionen.<br />
y<br />
3<br />
x<br />
a = 3 og b = 1<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 11<br />
y<br />
2<br />
0,5<br />
x<br />
a = 0,5 og b = 2<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
2<br />
y<br />
-2<br />
x<br />
a = 1 og b = <strong>–</strong>2<br />
g(x)<br />
f(x)<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
2<br />
2<br />
0,<br />
5<br />
3<br />
x<br />
3<br />
x
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne<br />
Tabellen kan se således ud:<br />
2<br />
f(x) x og<br />
3<br />
g(x) x .<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
2<br />
f(x) x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100<br />
3<br />
g(x) x 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1.000<br />
Husk at man kan finder potenser ved at<br />
trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y x .<br />
Graferne ser ud som vist til højre.<br />
Da nogle af y-værdierne er meget store,<br />
er hele tabellen ikke vist på graferne.<br />
Man kan se på både tabellen og graferne:<br />
- at begge grafer starter i (0,0)<br />
- at begge grafer vokser<br />
hurtigere og hurtigere<br />
- at x 3 vokser hurtigere end x 2 .<br />
Når a (eksponenten) er større end en (a > 1),<br />
gælder der:<br />
Funktionen vokser hurtigere og hurtigere.<br />
Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen.<br />
Hvis man forstørrer den nederste venstre del<br />
af graferne op, ser de således ud:<br />
2<br />
1<br />
0<br />
f(x)<br />
Man kan se, at<br />
2<br />
x<br />
g(x)<br />
3<br />
x<br />
0 1 2<br />
3<br />
2<br />
g(x) x er mindre end x<br />
f(x) i intervallet mellem 0 og 1.<br />
Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små x-værdier mellem 0 og 1.<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 12<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
g(x)<br />
3<br />
x<br />
f(x)<br />
2<br />
x<br />
0 1 2 3 4 5 6 7
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
3<br />
Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen π r .<br />
V er rumfanget og r er radius.<br />
Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius.<br />
Lav en tabel og en graf for funktionen.<br />
Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være 1 liter (1.000 cm 3 )?<br />
Formlen<br />
Altså:<br />
4<br />
V<br />
3<br />
π<br />
3<br />
r<br />
3<br />
V 4,<br />
18879 r svarende til<br />
svarer til en potensfunktion, hvor b π 4,18879... og a = 3.<br />
y<br />
4,<br />
18879<br />
Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede.<br />
3<br />
x<br />
r (cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
V (cm 3 ) 0 4,19 33,51 113,1 268,1 523,6 904,8 1437 2145<br />
Grafen ser ud som vist til højre.<br />
Man kan finde den radius,<br />
der giver et rumfang<br />
på 1.000 cm 3 på flere måder.<br />
- Man kan aflæse på grafen, hvis man<br />
laver en pæn graf på mm-papir.<br />
- Hvis man tegner grafen vha. et<br />
computer-program, har programmet<br />
måske en ”aflæse-funktion”.<br />
- Man kan prøve sig frem (simulering).<br />
Man kan se ud fra tabellen,<br />
at den rigtige radius må være<br />
mellem 6 cm og 7 cm og sikkert<br />
nærmest på 6 cm.<br />
- Man kan få det helt præcise svar<br />
ved at løse ligningen<br />
1 .000<br />
Man får:<br />
4,18879 r<br />
r<br />
r<br />
3<br />
3<br />
4,18879<br />
3<br />
1.000<br />
4,18879<br />
1.000<br />
4,18879<br />
3<br />
r<br />
1.000<br />
3<br />
238,<br />
73..<br />
6,2 cm<br />
2000<br />
1500<br />
1000<br />
500<br />
0<br />
V 3<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 13<br />
4<br />
4<br />
3<br />
V<br />
4,18879<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
3<br />
r
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Hvad betyder eksponenten?<br />
Det lille tal kaldes eksponenten.<br />
Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter?<br />
Eksponenten er et helt tal og større end nul:<br />
2<br />
x betyder x x ,<br />
Bemærk:<br />
3<br />
x betyder x x<br />
x ,<br />
4<br />
x betyder x x x<br />
1<br />
x betyder x . Men man skriver næsten aldrig<br />
Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal:<br />
Du skal huske, at<br />
1<br />
2 x<br />
0,5<br />
x betyder x ,<br />
x osv.<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 14<br />
1<br />
x .<br />
1<br />
3 0,3333.... .<br />
x x betyder 3 x osv.<br />
Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (fx<br />
Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y x ) uden at tænke over betydningen.<br />
Eksponenten er negativ:<br />
-1<br />
x betyder<br />
1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
Eksempel på opgave<br />
,<br />
1<br />
,<br />
x<br />
-2<br />
x betyder 2<br />
1<br />
,<br />
x<br />
-3<br />
x betyder 3<br />
Lav for x ≥ 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne<br />
Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede.<br />
-1,25<br />
x betyder 1,25<br />
0,5<br />
f(x) x og<br />
2,47<br />
x ), generelt betyder.<br />
1<br />
osv.<br />
x<br />
1,25<br />
g(x) 0,5 x .<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
0,5<br />
f(x) x 0 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 2,65 2,83 3 3,16<br />
1,25<br />
g(x) 0,<br />
5 x 0 0,5 1,19 1,97 2,83 3,74 4,70 5,69 6,73 7,79 8,89<br />
Graferne ser således ud.<br />
Grafen for<br />
1,25<br />
g(x) 0,<br />
5 x buer<br />
kun ganske svagt opad.<br />
Grafen ligner næsten en ret linje,<br />
men den vokser faktisk mere og mere.<br />
Grafen for<br />
0,5<br />
f(x) x buer den anden vej.<br />
Funktionsværdien vokser mindre og mindre.<br />
Men den kan vokse i det uendelige.<br />
Husk på at x x<br />
0,5<br />
, og når x er<br />
et stort tal, bliver x også stor.<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
4 3<br />
g(x)<br />
0,<br />
5<br />
Eksponent<br />
1,25<br />
x<br />
f(x)<br />
0,5<br />
x<br />
0 2 4 6 8 10
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
Lav tabel og graf for potensfunktionerne<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 15<br />
-2<br />
f(x) 2 x .<br />
Husk at 2<br />
-2<br />
x betyder 2<br />
1<br />
2<br />
eller blot .<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
På regnemaskinen finder man fx 2<br />
-2<br />
5 ved at trykke 2 x 5 ^ (-) 2 = .<br />
0 kan ikke bruges som x-værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen.<br />
Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede.<br />
x 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 3 4 5 7 10<br />
-2<br />
f(x) 2 x 32 8 3,556 2 0,889 0,5 0,222 0,125 0,08 0,041 0,02<br />
Grafen ser ud som vist til højre.<br />
Når x vokser bliver f(x) mindre,<br />
men f(x) kan aldrig blive 0.<br />
Alle grafer for potensfunktioner<br />
med negativ eksponent vil ligne<br />
grafen til højre.<br />
Jo mere negativ eksponenten er,<br />
jo hurtigere falder funktionsværdien.<br />
Tænk på at omvendt proportionale<br />
funktioner også er potensfunktioner.<br />
4<br />
1<br />
y kan jo fx skrives som y 4 x .<br />
x<br />
Grafen til højre ligner også graferne<br />
for omvendt proportionale funktioner,<br />
men grafen er ikke symmetrisk på<br />
samme måde som en rigtig hyperbel.<br />
Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige.<br />
Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a,<br />
men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder.<br />
I <strong>eksempler</strong>ne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som x-værdier.<br />
I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som x-værdi, fordi eksponenten er negativ.<br />
Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (fx<br />
kan man sagtens sætte negative tal ind som x-værdier.<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10<br />
2<br />
4<br />
y 0,3 x eller y 117<br />
x ),
Matematik på Åbent VUC Supplerende <strong>eksempler</strong> til Trin II<br />
Eksempel på opgave<br />
Lav tabel og graf for funktionen<br />
2<br />
f(x) x .<br />
Vi tager både negative og positive x-værdier med. Vi får:<br />
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
2<br />
f(x) x 16 9 4 1 0 1 4 9 16<br />
Grafen ser ud som vist til højre.<br />
Den er symmetrisk og kaldes en parabel.<br />
(0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse.<br />
Herunder er tegnet graferne for<br />
disse to funktioner:<br />
g(x)<br />
h(x)<br />
0,<br />
5<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
4<br />
x<br />
1,5<br />
<strong>Funktioner</strong>e er ikke rigtige potensfunktioner<br />
pga. forskrifternes form, men begge grafer<br />
er symmetriske buer ligesom grafen for y<br />
Alle funktioner, der kan skrives på formen<br />
y a<br />
2<br />
x b x c , hvor a ≠ 0,<br />
har den slags symmetriske grafer.<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
g(x)<br />
-4 -3 -2<br />
0<br />
-1 0<br />
-1<br />
1 2 3 4 5<br />
h(x)<br />
2<br />
0,<br />
5<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1,5<br />
4<br />
x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2<br />
<strong>Funktioner</strong> på formen y a x b x c ,<br />
hvor a ≠ 0, kaldes andengrads-funktioner<br />
eller andengrads-polynomier.<br />
Graferne kaldes parabler.<br />
Hvis a > 0 vender parablen ”benene opad”.<br />
Hvis a < 0 vender parablen ”benene nedad”.<br />
Hvis (og kun hvis) b = 0 og c = 0, er funktionen<br />
også en potensfunktion. Fx y 3<br />
2<br />
x<br />
Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt.<br />
Potensfunktionen med eksponenten 2<br />
2<br />
skrives normalt y b x<br />
Andengrads-funktionen skrives<br />
<strong>Lektion</strong> <strong>7s</strong> Side 16<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4<br />
y<br />
y<br />
a<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x