Differentiabilitet af vektorfunktion - Steen Toft Jørgensen

Differentiabilitet af vektorfunktion
Man kan ikke se på 2D-banekurve for en vektorfunktion f(t)=(x(t),y(t)) om den er differentiabel.
NB: Man skal undersøge om hver af koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er differentiabel.
Eksempel på en differentiabel vektorfunktion af 2 variable
Definer følgende koordinat-funktioner:
og
Banekurven i planen knækker i (0,0):
NB: Her er kun 2 kordinater: x og y.
(1.1)
(1.2)

y
4
3
2
1
0
0 1 2
x
banekurven i planen
3 4
Men funktionen f(t)=(x(t),y(t)) er en differentiabel funktion, da koordinatfunktionerne x(t) og
y(t) er differentiable:

x
4
3
2
1
0 1
t
2
x(t)

y
4
3
2
1
0 1
t
2
y(t)
Koordinatfunktionernes afledede x'(t) og y'(t) er kontinuerte funktioner af t:
og

x
4
3
2
1
0 1
t
2
x'(t)

Banekurven i rummet er differentiabel:
NB: Her er 3 kordinater: t, x og y.
y
0 1
t
2
y'(t)
(Rotér grafen og se fra forskellige vinkler. Grafen er simpelthen glat - også i )
(Prøv også at dreje koordinatsystemet, så t-aksen går ud af skærmen samt x-aksen til højre og yaksen
opad. Så fremkommer banekurven i x-y-planen.)

Eksempel på en ikke-differentiabel vektorfunktion af 2 variable
Definer følgende koordinat-funktioner:
og
(2.1)
(2.2)

Banekurven i planen er en ret linje:
NB: Her er kun 2 kordinater: x og y.
y 1
0 1
x
2
banekurven i planen
Men koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er ikke differentiable:
(grafen knækker i 0)
2
(2.2)

t
x(t)
2
x 1
0 1

Banekurven i rummet er ikke-differentiabel:
NB: Her er 3 kordinater: t, x og y.
t
y(t)
2
y 1
(Rotér grafen og se fra forskellige vinkler. Grafen knækker i )
0 1
(Prøv også at dreje koordinatsystemet, så t-aksen går ud af skærmen samt x-aksen til højre og yaksen
opad. Så fremkommer banekurven i x-y-planen.)