Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Definition 10 (FS)
Lad a og b være to vektorer i rummet. Krydsproduktet
a × b
defineres da som nedenstående vektor:
1) længden af
a × b defineres som
a × b = a b sin v
hvor v er vinklen mellem a og b ;
2) retningen af
a × b er givet ved den såkaldte højrehåndsregel:
Hold højre hånd i en knytnæve, således at fingrene peger i retningen
fra a til b ;
a × b vil da pege i tommeltottens retning.
Bemærk, at denne definition også giver mening i følgende specialtilfælde:
1) Hvis a eller b er nulvektoren, så kan vi egentlig ikke tale om en vinkel v mellem a
eller b . Men her er der ikke noget problem, idet længden af
a × b bliver nul ifølge
regel I) -
a × b er da nulvektoren, og v (og retningen) er ligegyldig.
2) Hvis a og b er parallelle, så er højrehåndsreglen svær at anvende - retningen af
a × b er ikke veldefineret. Men dette er ligegyldigt, idet v enten er 0° eller 180°, og i
begge tilfælde vil faktoren sin v gøre, at længden af
a × b bliver 0.
Historisk set opfandt man krydsproduktet i forbindelse med teorien for elektromagnetisme.
Her optræder højrehåndsreglen i forskellige varianter, f.eks. i loven om magnetfeltet fra en
spole:
Hold højre hånd om spolen således at fingrene peger i strømmens retning.
Da vil magnetfeltet fra spolen pege i tommeltottens retning.
Som det ses, så har vi umiddelbart følgende sætning:
Sætning 11 (FS)
Hvis a og b er egentlige vektorer, så gælder, at
a × b = 0
⇔ a b
8