Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Definition 10 (FS)<br />
Lad a og b være to vektorer i rummet. Krydsproduktet <br />
a × b<br />
defineres da som nedenstående vektor:<br />
1) længden af <br />
a × b defineres som<br />
<br />
a × b = a b sin v<br />
hvor v er vinklen mellem a og b ;<br />
2) retningen af <br />
a × b er givet ved den såkaldte højrehåndsregel:<br />
Hold højre hånd i en knytnæve, således at fingrene peger i retningen<br />
fra a til b ; <br />
a × b vil da pege i tommeltottens retning.<br />
Bemærk, at denne definition også giver mening i følgende specialtilfælde:<br />
1) Hvis a eller b er nulvektoren, så kan vi egentlig ikke tale om en vinkel v mellem a<br />
eller b . Men her er der ikke noget problem, idet længden af <br />
a × b bliver nul ifølge<br />
regel I) - <br />
a × b er da nulvektoren, og v (og retningen) er ligegyldig.<br />
2) Hvis a og b er parallelle, så er højrehåndsreglen svær at anvende - retningen af<br />
<br />
a × b er ikke veldefineret. Men dette er ligegyldigt, idet v enten er 0° eller 180°, og i<br />
begge tilfælde vil faktoren sin v gøre, at længden af <br />
a × b bliver 0.<br />
Historisk set opfandt man krydsproduktet i forbindelse med teorien for elektromag<strong>net</strong>isme.<br />
Her optræder højrehåndsreglen i forskellige varianter, f.eks. i loven om mag<strong>net</strong>feltet fra en<br />
spole:<br />
Hold højre hånd om spolen således at fingrene peger i strømmens retning.<br />
Da vil mag<strong>net</strong>feltet fra spolen pege i tommeltottens retning.<br />
Som det ses, så har vi umiddelbart følgende sætning:<br />
Sætning 11 (FS)<br />
Hvis a og b er egentlige vektorer, så gælder, at<br />
<br />
a × b = 0<br />
⇔ a b<br />
8