Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

4.2 Krydsproduktet En af de ting, som ikke kan generaliseres fra plangeometrien til rumgeometrien, er tværvektoren. Grunden til dette er, at der ikke på nogen entydig måde kan konstrueres en vektor, som står vinkelret på en given vektor a ; som figuren viser, er der en hel række vektorer, som alle sammen er vinkelrette på a - disse vektorer vil i øvrigt ligge i den samme plan. Men vælger man derimod to vektorer, a og b , og undersøger, hvilke vektorer der står vinkelret på begge disse vektorer, så er situationen anderledes - kravet om, at den ønskede vektor skal stå vinkelret på a tvinger vektoren til at ligge i planen. Men vektoren skal også stå vinkelret på b , så er den nødt til at ligge på den stiplede linie på figuren. → a → a b → Dette viser, at man alligevel kan generalisere tværvektor-begrebet til rumgeometrien, dog med den forskel, at man skal have angivet to vektorer, før man kan finde deres fælles 'tværvektor'. Denne tilordning kaldes normalt vektorproduktet eller krydsproduktet - og man skriver a × b . Bemærk, at skalarproduktet a ⋅ b er et tal, mens krydsproduktet a × b er en vektor. Man skal derfor passe på med sine gangetegn! Vi giver den formelle definition af krydsproduktet: 7
Definition 10 (FS) Lad a og b være to vektorer i rummet. Krydsproduktet a × b defineres da som nedenstående vektor: 1) længden af a × b defineres som a × b = a b sin v hvor v er vinklen mellem a og b ; 2) retningen af a × b er givet ved den såkaldte højrehåndsregel: Hold højre hånd i en knytnæve, således at fingrene peger i retningen fra a til b ; a × b vil da pege i tommeltottens retning. Bemærk, at denne definition også giver mening i følgende specialtilfælde: 1) Hvis a eller b er nulvektoren, så kan vi egentlig ikke tale om en vinkel v mellem a eller b . Men her er der ikke noget problem, idet længden af a × b bliver nul ifølge regel I) - a × b er da nulvektoren, og v (og retningen) er ligegyldig. 2) Hvis a og b er parallelle, så er højrehåndsreglen svær at anvende - retningen af a × b er ikke veldefineret. Men dette er ligegyldigt, idet v enten er 0° eller 180°, og i begge tilfælde vil faktoren sin v gøre, at længden af a × b bliver 0. Historisk set opfandt man krydsproduktet i forbindelse med teorien for elektromagnetisme. Her optræder højrehåndsreglen i forskellige varianter, f.eks. i loven om magnetfeltet fra en spole: Hold højre hånd om spolen således at fingrene peger i strømmens retning. Da vil magnetfeltet fra spolen pege i tommeltottens retning. Som det ses, så har vi umiddelbart følgende sætning: Sætning 11 (FS) Hvis a og b er egentlige vektorer, så gælder, at a × b = 0 ⇔ a b 8
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?