Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

1.3 For ethvert reelt tal t er vektorerne a og b bestemt ved
2 ⎛ t ⎞
⎜ ⎟
a = ⎜ 3 ⎟
⎜
⎝−4⎟
⎠
og
⎛ t −1
⎞
⎜ 2 ⎟
b = ⎜t
−1⎟
⎜ 2 ⎟
⎝t
−1⎠
Bestem de værdier af t, for hvilke
a) a og b er ortogonale,
b) a = 6 .
1.4 I rummet er givet tre punkter A = ( 1, 3, − 2 ) , B = ( 1, 1, 2 ) og C = ( 4, 0, 0 ) .
a) Overbevis dig om, at tre tilfældige (og forskellige) punkter i rummet enten
ligger på samme linie eller i samme plan.
Det oplyses, at de tre punkter A, B og C ikke ligger på samme linie.
b) Bestem siderne og vinklerne i trekant ABC.
Et fjerde punkt D er bestemt ved, at firkant ABCD er et parallelogram.
c) Bestem koordinaterne til punktet D.
d) Bestem koordinatsættet til diagonalernes skæringspunkt i firkanten ABCD, og
til medianernes skæringspunkt i trekant ABC.
1.5 I rummet er vektorerne a og b og punkterne A, B og C bestemt ved
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
a = ⎜−2⎟
,
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
b = ⎜−1⎟
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
og A = ( 2, 4, −1
) .
Endvidere oplyses det, at
→
AB = a + b og
→
AC = b
.
a) Bestem koordinaterne til punkterne B og C.
b) Bestem sidelængderne og vinklerne i trekant ABC.
Punktet D opfylder, at firkant ABCD er et parallelogram.
c) Bestem koordinaterne til D.
6