Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Regneregler for vektorer Hvis ⎛a1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜a2⎟ og ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎛b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜b2 ⎟ , så ⎜ ⎟ ⎝b ⎠ 3 ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ a + b = ⎜a2 + b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a + b ⎠ 3 3 3 Kapiteloversigt ⎛ a1 − b1 ⎞ ⎜ ⎟ a − b = ⎜a2 − b2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a − b ⎠ 55 3 3 Skalarproduktet a ⋅ b = a b cos v ,hvor v er vinklen mellem a og b . ⎛a1⎞ b1 ⎜ ⎟ ⎜a2⎟ b2 a b a b a b ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ b ⋅ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 1 1 2 2 3 3 Vektorproduktet a × b = a b sin v , hvor v er vinklen mellem a og b Lad ⎛a1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜a2⎟ og ⎜ ⎟ ⎝a3⎠ ⎛b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜b2 ⎟ . Så er ⎜ ⎟ ⎝b3 ⎠ ⎛a2b3 − a3b2 ⎞ ⎜ ⎟ a × b = ⎜ a3b1 − a1b3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a1b2 − a2b1 ⎠ a × b = 0 ⇔ a b Parallelogrammet udspændt af a og b har arealet a × b . Trekanten udspændt af a og b har arealet 1 a × b . 2 Planer og linier Linien med retningsvektoren r ⎛r1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝r ⎠ ⎛ x⎞ x r ⎜ ⎟ parameterfremstillingen ⎜ y⎟ y t r ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ z r = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 3 3 ⎛ sa1⎞ ⎜ ⎟ sa = ⎜sa2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝sa ⎠ a⊥b ⇔ a ⋅ b = 0 a b a ⋅b = b 2 b gennem punktet ( x0, y0, z0 ) har 3
Planen med normalvektoren ⎛a⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜b⎟ ⎜ ⎟ ⎝c⎠ og retningsvektorerne ⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ p = ⎜ p2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ p ⎠ ⎛q1⎞ ⎜ ⎟ q = ⎜q2⎟ ⎜ ⎟ ⎝q ⎠ 3 , og som indeholder punktet ( x0, y0, z0 ) , har ligningen og parameterfremstillingen a( x − x ) + b( y − y ) + c( z − z ) = 0 0 0 0 Lad P = ( x1, y1, z1 ) være et punkt og α:ax by cz d ⎛ x⎞ x p q ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ y s p t q ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ z p q = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 0 2 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ 0 3 ⎝ 3⎠ + + + = 0 være en plan i rummet. Da er afstanden fra P til α givet ved ax1 + by1 + cz1 + d dist( P, α ) = 2 2 2 a + b + c Afstanden mellem punktet P og linien l gennem punktet P0 og retningsvektoren r er givet ved r × P P dist( P, l) = r → 0 Afstanden mellem de ikke-parallelle linier l 1 og l 2 , som har retningsvektorerne r 1 og r 2, og som går gennem punkterne P 1 og P 2 , er givet ved n ⋅ P1 P2 dist( l1 , l2) = n → , hvor n = r × r 56 1 2 . Projektionen af vektoren a på planen α med normalvektoren n er vektoren a n n a n a a a α = − n = a − n n n ⋅ = × × ( ) 2 2 Kugler Kuglen med centrum C = ( x0, y0, z0 ) og radius r er givet ved ligningen ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = r 0 2 0 2 0 2 2 . 3 og
Page 1 and 2:
Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4:
4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55: Sammenligning mellem plan- og rumge
show all

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?